已知,如图,P是圆O外一点,PA切圆O于点A,AB是圆O的直径,BC平行OP,判断直线PC与圆O位置关系,并证明若BC=2,sin1/2∠APC=1/3,求PC的长和点C到PA的距离
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/22 08:46:08
已知,如图,P是圆O外一点,PA切圆O于点A,AB是圆O的直径,BC平行OP,判断直线PC与圆O位置关系,并证明若BC=2,sin1/2∠APC=1/3,求PC的长和点C到PA的距离
已知,如图,P是圆O外一点,PA切圆O于点A,AB是圆O的直径,BC平行OP,判断直线PC与圆O位置关系,并证明
若BC=2,sin1/2∠APC=1/3,求PC的长和点C到PA的距离
已知,如图,P是圆O外一点,PA切圆O于点A,AB是圆O的直径,BC平行OP,判断直线PC与圆O位置关系,并证明若BC=2,sin1/2∠APC=1/3,求PC的长和点C到PA的距离
1. 直线PC与圆O相切
证明：如你图,连接OC；
∵BC∥OP, ∴∠B=∠POA,∠BCO=∠COP,
∵OB=OC, ∴∠B=∠OCB,∴∠COP=∠AOP；
∵OC=OA,OP=OP,∴△PCO≌△PAO,∴∠OCP=∠OAP=90°,
∴PC是圆O的切线.
2. 如右图.连接CA交OP于点E,并过C作BA的平行线交PA于点D,
易证△ABC∽△POC 
则BC：OC=AB：OP.①
由sin1/2∠APC=1/3易得sin∠OPC=1/3,即OP=3OC,将BC=2同时代入①有：
2：OC=2OC：3OC,得OC=3
则PC=根号（OP^2-OC^2）=根号（81-9）=6根号2；
又∵CD∥BA, 且∠BAP=90°,∴∠CDP=90°,即CD是PC的长及点C到PA的距离.
∵△PCO≌△PAO（1、证明）∴PA=PC=6根号2
而AC：PC=BA：OP=2：3,∴AC=4根号2
又易证△OEA∽△BCA,则OE：BC=AO：AB,即得OE=1,则EP=3×3-1=8,
而S△PAC=1/2（EP×AC）=1/2（PA×CD）,解得：
CD=（EP×AC）/PA=（8×4根号2）/6根号2=5又1/3.
连接OC
∵OP∥BC
∴∠OCB＝∠POC，∠B＝∠POA
∵OB＝OC
∴∠OCB＝∠B
∴∠POC＝∠POA
∵OC＝OA，OP＝OP
∴△POC≌△POA
∴∠PCO＝∠PAO＝90°
∴PC是⊙O的切线