若递增数列Xn满足X1=1/2,且4Xn*Xn+1=(Xn+Xn+1-1/2)^2,求Xn
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/01/21 12:17:18
若递增数列Xn满足X1=1/2,且4Xn*Xn+1=(Xn+Xn+1-1/2)^2,求Xn
若递增数列Xn满足X1=1/2,且4Xn*Xn+1=(Xn+Xn+1-1/2)^2,求Xn
若递增数列Xn满足X1=1/2,且4Xn*Xn+1=(Xn+Xn+1-1/2)^2,求Xn
4x[n]*x[n+1]=(x[n]+x[n+1]-1/2)^2 (1)
4x[n+1]*x[n+2]=(x[n+1]+x[n+2]-1/2)^2 (2)
(2)-(1) 4x[n+1]*(x[n+2]-x[n])=(x[n]+2x[n+1]+x[n+2]-1)(x[n+2]-x[n])
由于递增函数x[n],x[n+2]-x[n]>0
4x[n+1]=x[n]+2x[n+1]+x[n+2]-1
x[n+2]=2x[n+1]-x[n]+1
由x[1]=1/2,可以计算得到x[2]=2
x[3]=2*x[2]-x[1]+1
x[4]=2*x[3]-x[2]+1=3x[2]-2x[1]+3
x[5]=2*x[4]-x[3]+1=4x[2]-3x[1]+6
x[6]=2*x[5]-x[4]+1=5x[2]-4x[1]+10
.
从规律中可以看出
则x[n]=(n-1)x[2]-(n-2)*x[1]+(n-2)*(n-1)/2
数学归纳法证明x3到xn规律成立即可
x[3]=(3-1)*x[2]-(3-2)*x[1]+(3-2)*(3-1)/2=2x[2]-x[1]+1显然成立
同理x[4]也成立
若x[n]=(n-1)x[2]-(n-2)*x[1]+(n-2)*(n-1)/2,x[n+1]=nx[2]+(n-1)x[1]+(n-1)n/2
由于x[n+2]=2x[n+1]-x[n]+1
x[n+2]=(n+1)x[2]+nx[1]+n(n+1)/2
与规律吻合,得证结论
代入想x[1]=1/2,x[2]=2
x[n]=n^2/2
x[1],x[2]也同样满足规律,不必分段处理
x[n]=n^2/2(n=1,2,...,n)
由 4Xn*Xn+1=(Xn+Xn+1-1/2)^2
可得 (Xn+1-Xn-1/2)^2=2Xn
X1=1/2,X2=2,X3=9/2……
推测Xn=n^2/2
由数学归纳法可证。
k=1成立
假设k=n成立 即有Xn=n^2/2
则当k=n+1时,有(Xn+1 -n^2/2 -1/2)^2=n^2/2
可得 Xn+1 =(n+1)^2/2
证毕