设a,b,c∈Z,(a+b+c)|(a^2+b^2+c^2),证明：存在无穷多个正整数n,使(a+b+c)|(a^n+b^n+c^n),设a,b,c∈Z,(a+b+c)|(a^2+b^2+c^2),证明：存在无穷多个正整数n,使(a+b+c)|(a^n+b^n+c^n),
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/29 17:58:49
设a,b,c∈Z,(a+b+c)|(a^2+b^2+c^2),证明：存在无穷多个正整数n,使(a+b+c)|(a^n+b^n+c^n),设a,b,c∈Z,(a+b+c)|(a^2+b^2+c^2),证明：存在无穷多个正整数n,使(a+b+c)|(a^n+b^n+c^n),
设a,b,c∈Z,(a+b+c)|(a^2+b^2+c^2),证明：存在无穷多个正整数n,使(a+b+c)|(a^n+b^n+c^n),
设a,b,c∈Z,(a+b+c)|(a^2+b^2+c^2),
证明：存在无穷多个正整数n,使(a+b+c)|(a^n+b^n+c^n),
设a,b,c∈Z,(a+b+c)|(a^2+b^2+c^2),证明：存在无穷多个正整数n,使(a+b+c)|(a^n+b^n+c^n),设a,b,c∈Z,(a+b+c)|(a^2+b^2+c^2),证明：存在无穷多个正整数n,使(a+b+c)|(a^n+b^n+c^n),
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)
ab+bc+ac=a(b+c)+bc=a(a+b+c)-a^2+bc
故 若有(a+b+c)|(a^2+b^2+c^2),
则(a+b+c)|(a^2-bc),
下面用数学归纳法证明 当n=2^k,k∈N时(a+b+c)|(a^n+b^n+c^n),
k=1时,(a+b+c)|(a^2+b^2+c^2),
假设 (a+b+c)|(a^(2^k)+b^(2^k)+c^(2^k)),
(a^(2^k)+b^(2^k)+c^(2^k))^2=a^(2^(k+1))+b^(2^(k+1))+c^(2^(k+1))
+2(a^(2^k)b^(2^k)+b^(2^k)c^(2^k)+a^(2^k)c^(2^k))
a^(2^k)b^(2^k)+b^(2^k)c^(2^k)+a^(2^k)c^(2^k)=a^(2^k)(a^(2^k)+b^(2^k)+c^(2^k))-(a^(2^(k+1))-b^(2^k)c^(2^k))
a^(2^(k+1))-b^(2^k)c^(2^k)=(a^2)^(2^k)-(bc)^(2^k)
(a^2-bc)|(a^2)^(2^k)-(bc)^(2^k)
(a+b+c)|(a^2-bc),(a+b+c)|(a^2)^(2^k)-(bc)^(2^k)
故(a+b+c)|(a^(2^（k+1）)+b^(2^（k+1）)+c^(2^（k+1）)),
所以对任意的k∈N 当n=2^k时 有(a+b+c)|(a^n+b^n+c^n),