已知函数f(x)=e^x,直线l的方程为y=kx+b⑴若直线l是曲线y=f(x)的切线,求证：f(x)≥kx+b对任意x∈R成立；⑵若f(x)≥kx+b对任意x∈R成立,求实数k、b应满足的条件.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/23 17:40:08
已知函数f(x)=e^x,直线l的方程为y=kx+b⑴若直线l是曲线y=f(x)的切线,求证：f(x)≥kx+b对任意x∈R成立；⑵若f(x)≥kx+b对任意x∈R成立,求实数k、b应满足的条件.
已知函数f(x)=e^x,直线l的方程为y=kx+b
⑴若直线l是曲线y=f(x)的切线,求证：f(x)≥kx+b对任意x∈R成立；
⑵若f(x)≥kx+b对任意x∈R成立,求实数k、b应满足的条件.
已知函数f(x)=e^x,直线l的方程为y=kx+b⑴若直线l是曲线y=f(x)的切线,求证：f(x)≥kx+b对任意x∈R成立；⑵若f(x)≥kx+b对任意x∈R成立,求实数k、b应满足的条件.
(1)从几何的角度不难看出,f(x)是下凸函数,故其切线总是位于f(x)图象的下方,显然有f(x)≥kx+b成立.
下面从代数的角度证明：
设任一切点坐标为（m,e^m)
l：y-e^m=e^m(x-m),即y=(x-m+1)e^m
设g(x)=f(x)-(x-m+1)·e^m=e^x-(x-m+1)e^m
g'(x)=e^x-e^m
当x>m时,g'(x)>0,g(x)递增,
当x
故g(x)≥g(m)=0恒成立,
所以,f(x)≥(x-m+1)e^m恒成立,即f(x)≥kx+b对任意x∈R成立.
（2）b为直线l的纵截距,即直线l过点（0,b）.
显然,若b>f(0),则无论如何都不可能有f(x)≥kx+b恒成立,故b≤f(0)=1.
当b=1时,f(x)图象与l相切,由（1）知题设恒成立.
当0
如当b=0时,过(0,b)仅可以做关于f(x)的一条切线,切点为(1,e),0≤k≤1.
你可以自己试着拿结果.
另外说一句,1楼的答案明显是错误的.
By冻结的火
若l是f(x)d的切线，则有切点处exp(x)=kx+b，令该点坐标为（x0，exp(x0)). 对于切点外曲线f(x)上任意一点f(x0+dX)=exp(x0+dx)=exp(x0)*exp(dx), 对应相同的x坐标，直线的Y坐标为k（x0+dx）+b，而
exp(x0)*exp(dx)-（k（x0+dx）+b）=exp(x0)*exp(dx)-（k（x0）+b）+k*dx）=exp(...
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若l是f(x)d的切线，则有切点处exp(x)=kx+b，令该点坐标为（x0，exp(x0)). 对于切点外曲线f(x)上任意一点f(x0+dX)=exp(x0+dx)=exp(x0)*exp(dx), 对应相同的x坐标，直线的Y坐标为k（x0+dx）+b，而
exp(x0)*exp(dx)-（k（x0+dx）+b）=exp(x0)*exp(dx)-（k（x0）+b）+k*dx）=exp(x0)*exp(dx)-（exp（x0）+k*dx）=exp（x0）*（exp（dx)-1)-k*dx ,若dx不等于0，只要证明exp（x0）*（exp（dx)-1)-k*dx 大于0即可。
条件k>0,b>0
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