数列{An}中,A1=1,A2=3且An+1=4An-3An-1求通项公式如题..

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 04:09:14
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数列{An}中,A1=1,A2=3且An+1=4An-3An-1求通项公式如题..
数列{An}中,A1=1,A2=3且An+1=4An-3An-1求通项公式
如题..

数列{An}中,A1=1,A2=3且An+1=4An-3An-1求通项公式如题..
A(n+1)=4A(n)-3A(n-1);
因此,
A(n+1)-A(n)=4A(n)-3A(n-1)-A(n);
即:A(n+1)-A(n)=3[A(n)-A(n-1)];
然后用叠加,
A(n+1)-A2=2*[3^(n-1)-1];
A(n+1)-3=2*3^(n-1)-2;
因此A(n+1)=2*3^(n-1)+1;
因此A(n)=2*3^(n-2)+1;(n>=2)
A1=1;

An+1=4An-3An-1
所以 3An=3An-1 -1
An=An-1 - 1/3 (n>2)
A1=1,A2=3

数列{an}中,a1=1,a2=3且a(n+1)=4an-3a(n-1)求通项公式。
设参构造一个复合的等比数列:
令a(n+1)+xan=y(an+xa(n-1)),则a(n+1)=(y-x)an+xya(n-1);
与a(n+1)=4an-3a(n-1)比较,得y-x=4,xy=-3;
解得x=-1,y=3;或x=-3,y=1。
则a(n+1)-an=3...

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数列{an}中,a1=1,a2=3且a(n+1)=4an-3a(n-1)求通项公式。
设参构造一个复合的等比数列:
令a(n+1)+xan=y(an+xa(n-1)),则a(n+1)=(y-x)an+xya(n-1);
与a(n+1)=4an-3a(n-1)比较,得y-x=4,xy=-3;
解得x=-1,y=3;或x=-3,y=1。
则a(n+1)-an=3(an-a(n-1))或a(n+1)-3an=an-3a(n-1);
若原式变形为a(n+1)-an=3(an-a(n-1)),则a2-a1=2;
则a(n+1)-an是以2为首项,3为公比的等比数列,即a(n+1)-an=2×3^(n-1);
则∑(i=1→n)|[a(i+1)-ai]=∑(i=1→n)|[2×3^(i-1)];
展开,裂项相消,得-a1+a(n+1)=2×[1×((3^n-1)/(3-1))];
化简,得a(n+1)=3^n,则an=3^(n-1);
若原式变形为a(n+1)-3an=an-3a(n-1),则a2-3a1=0;则a(n+1)-3an=0,a(n+1)=3an,
即an是以a1=1为首项,3为公比的等比数列,即an=3^(n-1);
综上所述,an=3^(n-1)。

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