关于双曲线的性质,证明：在双曲线上任意一点P,P处的切线PT平分三角形PF1F2在点P处的内角
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 18:01:32
关于双曲线的性质,证明：在双曲线上任意一点P,P处的切线PT平分三角形PF1F2在点P处的内角
关于双曲线的性质,
证明：在双曲线上任意一点P,P处的切线PT平分三角形PF1F2在点P处的内角
关于双曲线的性质,证明：在双曲线上任意一点P,P处的切线PT平分三角形PF1F2在点P处的内角
看【古希腊】阿波罗尼的《圆锥曲线论》.
这是我自己想的：
先给出以下引理：
如图所示,点P在直线l上运动,定点A,B在l的异侧,求证：当|AP﹣BP|最大时,l平分∠APB
证明：作B关于l的对称点B',在△AB'P’中,AB＞|AP‘﹣BP’|,当A,B',P共线时AB'=|AP﹣B'P|
因此当|AP﹣BP|最大时,A,B',P三点共线.
所以∠APP'=∠B’PP‘,由对称知∠BPP'=∠B'PP'
因此,此时l平分∠APB
下面证明原命题.
证明：在双曲线上过点P的切线上的点P‘必在双曲线的“外侧”.
此时,|F1P’﹣F2P‘|＜2a,a为实轴长
而由双曲线定义|F1P﹣F2P|=2a
根据引理,可知l平分∠F1PF2
这个问题也可以求导解决.
先考察P在第一象限时的情况.
设x²/a²﹣y²/b²=1,用隐函数微分法,得2/a² x dx﹣2/b² y dy=0
化简得dy/dx=b²/a² x/y
设P（x0,y0）,则过P的切线l的方程为y﹣y0=y'（x﹣x0）
而y’=b²/a² x0/y0
在l的方程中,令y=0,即得l与x轴的交点,经计算,这个交点坐标为（(b²x0²﹣a²y²)/(b²x0),0）
化简得（a²/x0,0）,记为点Q
于是F1Q=c+a²/x0,F2Q=c﹣a²/x0
由焦半径公式F1P=a+ex0,F2Q=ex0﹣a
下面证明F1Q：F1P=F2Q：F2P
∵F1Q×F2P=（c+a²/x0）（ex0﹣a）=ecx0﹣a³/x0
F2Q×F1P=（c﹣a²/x0）（ex0+a）=ecx0﹣a²/x0
因此F1Q：F1P=F2Q：F2P
由三角形内角平分线定理得PQ平分∠F1PF2
那是重心用重心的性质即可.....
已知双曲线y^2/a^2-x^2/b^2=1(a>0,b>0)的离心率为2，一条准线和两条渐进线围成的三角形的面积为√3，直线l过点p(0,-2)且与双曲线交于相异的两点M,N(1)求双曲线c的方程。(2)设t=向量OM·向量OP+向量OM·向量PN(O为坐标原点)，求t的取值范围