一道竞赛题难题△ABC中a,b,c分别为角A,B,C的对边若a(1-2cosA)+b(1-2cosB)+c(1-2cosC)=0,求证△ABC为等边三角形（提示：a=bcosC+ccosB）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 13:21:46
一道竞赛题难题△ABC中a,b,c分别为角A,B,C的对边若a(1-2cosA)+b(1-2cosB)+c(1-2cosC)=0,求证△ABC为等边三角形（提示：a=bcosC+ccosB）
一道竞赛题难题
△ABC中a,b,c分别为角A,B,C的对边
若a(1-2cosA)+b(1-2cosB)+c(1-2cosC)=0,求证△ABC为等边三角形
（提示：a=bcosC+ccosB）
一道竞赛题难题△ABC中a,b,c分别为角A,B,C的对边若a(1-2cosA)+b(1-2cosB)+c(1-2cosC)=0,求证△ABC为等边三角形（提示：a=bcosC+ccosB）
用正弦定理,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
sinA(1-2cosA)+sinB(1-2cosB)+sinC(1-2cosC)=0
即sinA+sinB+sinC=sin2A+sin2B+sin2C
而sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+sin(A+B)
=2sin(A+B)/2cos(A-B)/2+2sin(A+B)/2cos(A+B)/2
=4sin(A+B)/2cos(A/2)cos(B/2)
=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) ...1
sin2A+sin2B+sin2C=sin(A+B)cos(A-B)-2sin(A+B)cos(A+B)=4sinAsinBsinC ..2
由1,2得
sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)=1/8
而sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
=(cos(A-B)/2)-cos(A+B)/2)*sin(C/2)/2
≤(1-sin(C/2))*sin(C/2)/2
≤(1-1/2)*(1/2)/2=1/8
等号成立当且仅当sin(C/2)=1/2,cos(A-B)/2=1
解得C=60,A=B,ABC是等边三角形
故原命题得证
证明：运用余弦定理
cosA=（b2+c2-a2）/2bc (1)
cosB=（a2+c2-b2）/2ac (2)
cosC=（a2+b2-c2）/2ab (3)
将(1)(2)(3)代入a(1-2cosA)+b(1-2cosB)+c(1-2cosC)=0
并两边同乘以2abc得
2a2bc+2a2(a2-b2-c2)+2b2ac+2b2(b2-a2...
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证明：运用余弦定理
cosA=（b2+c2-a2）/2bc (1)
cosB=（a2+c2-b2）/2ac (2)
cosC=（a2+b2-c2）/2ab (3)
将(1)(2)(3)代入a(1-2cosA)+b(1-2cosB)+c(1-2cosC)=0
并两边同乘以2abc得
2a2bc+2a2(a2-b2-c2)+2b2ac+2b2(b2-a2-c2)+2c2ab+2c2(c2-a2-b2)=0
→(a4+b4-2a2b2)+(a4+c4-2a2c2)+(b4+c4-2b2c2)-(a2b2+a2c2-2a2bc)
-(b2a2+b2c2-2b2ac)-(c2a2+c2b2-2c2ab)=0
→(a2-b2)2+(a2-c2)2+(b2-c2)2-a2(b-c)2-b2(a-c)2-c2(a-b)2=0
→(a+b)2(a-b)2+(a+c)2(a-c)2+(b+c)2(b-c)2-a2(b-c)2-b2(a-c)2-c2(a-b)2=0
→[(a+b)2-c2](a-b)2+[(a+c)2-b2](a-c)2+[(b+c)2-a2](b-c)2=0
由于a、b、c满足三边关系所以
(a+b)2-c2>0
(a+c)2-b2>0
(b+c)2-a2>0
→a-b=0,a-c=0,b-c=0→a=b=c
即三角形为等边三角
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