度量空间中,紧集等价于自列紧集,但为什么一般的拓扑空间中不对?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 10:46:37
度量空间中,紧集等价于自列紧集,但为什么一般的拓扑空间中不对?
度量空间中,紧集等价于自列紧集,但为什么一般的拓扑空间中不对?
度量空间中,紧集等价于自列紧集,但为什么一般的拓扑空间中不对?
你这个问题要回答的话是很复杂的.
首先我们需要回顾一下拓扑学序列的定义 （因为度量空间的序列定义还不够一般）
设X是一个拓扑空间,每一个s: Z+(正整数集) 到 x的映射 叫做 X的序列 记做{x1,x2,x3 ...}
设{x1,x2,x3...}是X空间的一个序列 , 而a 属于 X集合 ,如果对于a的每一个邻域U, 存在M 属于 Z+ 使得当所有 i > M 有 xi 属于 U ,就叫a是序列的极限点, 如果序列至少有一个一个极限点,我们称这个序列收敛.
子序列你应该能够自己定义出来 ,（我就不打了）
这样我们来解答问题吧 还记得R（实直线）上的余有限拓扑 这是一个很好 又很简单 的例子
余有限拓扑定义的闭集只有 空集 R 和 有限个点的集合 这样我们看到在 这个拓扑下 所有R的子集都是 紧集 这一点很明显 希望你自己证明 这样{1 / n} (n 属于 Z+) 这个集合自然是紧集 仔细看上面的定义 在这个拓扑下 R上所有的点都是这个序列的极限点 但是它们很多都不属于这个序列本身 自然这个序列构成集是紧集而不是自列紧集. 至于自列紧集不是紧集 较直接的方法是构造一个满足第一可数的 T1 空间 而且不是lindelof的拓扑空间 （不过一般举例是会出现 不可数序数 的 汗 我想了下没找到简单的例子） 这种空间自身是子列紧的 但他连lindelof空间都不是 自然也不是紧空间
综上所述 这两个概念在一般的空间中是互不包含,一般都会加上好的 分离性公理 或者 可数性公理逼其就范.比如 加上A2公理 T1公理
总之 点集拓扑学有很多反例的 如果还有什么 我们一起讨论交流一下