有关平面上n个点的证明题平面上有n个点,（n是大于等于3的自然数）,其中任何三点不在同一直线上.证明：一定存在三点,以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于180°/n汗,我都不知
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/22 09:02:50
有关平面上n个点的证明题平面上有n个点,（n是大于等于3的自然数）,其中任何三点不在同一直线上.证明：一定存在三点,以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于180°/n汗,我都不知
有关平面上n个点的证明题
平面上有n个点,（n是大于等于3的自然数）,其中任何三点不在同一直线上.证明：一定存在三点,以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于180°/n
汗,我都不知道这题到底要证明的是啥.
有关平面上n个点的证明题平面上有n个点,（n是大于等于3的自然数）,其中任何三点不在同一直线上.证明：一定存在三点,以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于180°/n汗,我都不知
我来证明吧!
证明如下：
首先建立平面直角坐标系XOY,设X坐标最小的点为P1（x1,y1),那么在P1左边的横坐标的点就比x1小,所以没有点在P1左边；又由于任3点不共线,所以和P1横坐标相同的点,最多只有1个.设P1A为以P1为起点,和纵坐标Y平行的上半段射线.
按角度的从小到大依此排列剩下的n-1个点和P1A所成的角,设它们为角P2P1A,角P3P1A,...,角PnP1A,则角P2P1A<角P3P1A<...<角PnP1A,
由于任3点不共线,所以这n-1个角不存在某2个可能取等号；且角P2P1P3+角P3P1P4+...+角Pn-1P1Pn=角P2P1Pn.
(反证法)假设任意内角均大于180°/n,那么角P2P1P3,角P3P1P4,...,角Pn-1P1Pn这n-2个角均大于180°/n,那么它们的和就大于180°×(n-2)/n,所以角P2P1Pn>180°×(n-2)/n,那么在三角形P2P1Pn中,就一定有角P1P2Pn+角P1PnP2=180°-角P2P1Pn<180°-180°×(n-2)/n=360°/n,所以角P1P2Pn和角P1PnP2一定有一个小于180°/n,矛盾.
所以假设不成立,即至少有一个内角不大于180°/n.