在空间四边形ABCD中,AC=BD=6,AB=CD=7 AD=BC=8,求AC与BD所成角的余弦值.答案是5/12,刚学几何没多久,这题目死活做不出,网上搜的回答要么答案错,要么方法没学过,有图就更好了,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 07:03:57
在空间四边形ABCD中,AC=BD=6,AB=CD=7 AD=BC=8,求AC与BD所成角的余弦值.答案是5/12,刚学几何没多久,这题目死活做不出,网上搜的回答要么答案错,要么方法没学过,有图就更好了,
在空间四边形ABCD中,AC=BD=6,AB=CD=7 AD=BC=8,求AC与BD所成角的余弦值.
答案是5/12,刚学几何没多久,这题目死活做不出,网上搜的回答要么答案错,要么方法没学过,有图就更好了,
在空间四边形ABCD中,AC=BD=6,AB=CD=7 AD=BC=8,求AC与BD所成角的余弦值.答案是5/12,刚学几何没多久,这题目死活做不出,网上搜的回答要么答案错,要么方法没学过,有图就更好了,
本来用空间向量解题是比较方便的,而用一般立体几何法较麻烦,既然未学过向量,那就不妨试用一般方法来解,
如图所示,E、F、G、H、I、J分别是AD、AB、BC、AC、CD、BD的中点,先连结FG、GI、IE、EF、EG、FI,EG∩FI=O,
∵EF、GI分别是△ABD、△CBD中位线,
∴EF//BD,GI//BD,EF=BD/2,GI=BD/2,
∴EF//GI,EF=GI,
∴四边形EFGI是平行四边形,
同理EG//EI,EG=EI=AC/2,
∵AC=BD=8,
∴FG=EF=4,
∴四边形EFGI是菱形,
∴EG⊥FI,
同理可证四边形FHJI,四边形GHEJ也是菱形,根据菱形对角线互相垂直平分的性质,O点是三个菱形的公共交点,
∵GO⊥FI,GO⊥HJ,FI∩HJ=O.
∴GO⊥平面FJIH,
GF=GI=BD/2=3,GJ=GH=CD/2=7/2,FH=HI=IJ=FJ=BC/2=4,
设OH=JO=x,OI=OF=y,
根据勾股定理,GF^2-OF^2=OG^2.
GH^2-OH^2=OG^2,
3^2-y^2=(7/2)^2-x^2,
x^2-y^2=13/4,(1)
IO^2+OH^2=IH^2,
x^2+y^2=16,(2),
(1)+(2)式,x=√154/4.
y=√102/4,
IF=2OF=√102/2,
在△GIF中,根据余弦定理,
cos<IGF=(GI^2+GF^2-IF^2)/(2*GI*GF)
=(9+9-51/2)/(2*3*3)=-5/12,
因二直线夹角不大于90度,故取正值,
∴cos<IGF=5/12,
∵FG//AC,IG//BD,
∴<FGI的补角就是AC和BD所成角,
∴AC和BD所成角余弦值为5/12.
