已知椭圆的焦点在坐标轴上,直线l:y=-x+1经过椭圆的右焦点且与椭圆相交于A,B两点线段AB的中点为M,直线l与OM所夹得锐角大小为arctan3,求椭圆方程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 07:22:49
已知椭圆的焦点在坐标轴上,直线l:y=-x+1经过椭圆的右焦点且与椭圆相交于A,B两点线段AB的中点为M,直线l与OM所夹得锐角大小为arctan3,求椭圆方程
已知椭圆的焦点在坐标轴上,直线l:y=-x+1经过椭圆的右焦点且与椭圆相交于A,B两点
线段AB的中点为M,直线l与OM所夹得锐角大小为arctan3,求椭圆方程
已知椭圆的焦点在坐标轴上,直线l:y=-x+1经过椭圆的右焦点且与椭圆相交于A,B两点线段AB的中点为M,直线l与OM所夹得锐角大小为arctan3,求椭圆方程
由题意可知椭圆的焦点在x轴上,
因为直线l:y=-x+1经过椭圆的右焦点
所以令y=0,代入直线方程y=-x+1得：x=1
即椭圆的右焦点坐标为(1,0),则c=1
又设直线l：y=-x+1的倾斜角为α,直线l与OM所夹得锐角为β
则直线OM的倾斜角为α－(π－β)=α+β－π （画草图辅助判断所得）
且易知tanα=-1,β=arctan3即tanβ＝3
所以tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1－tanα*tanβ)=1/2
则直线OM的斜率k(OM)=tan(α+β－π)=tan(α+β)=1/2
又直线OM过原点,则直线OM的方程可写为：y=(1/2)*x
联立直线l与直线OM方程：
y=-x+1,y=(1/2)*x
易解得x=2/3,y=1/3
即两直线交点M的坐标为（2/3,1/3）
又设椭圆方程为mx² +ny²=1 (n>m>0)
且设直线l与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)
则有：mx1² +ny1²=1,mx2² +ny2²=1
两式相减可得：
m(x1+x2)(x1-x2) +n(y1+y2)(y1-y2)=0 （×）
因为点M是线段AB中点,所以由中点公式可得：
x1+x2=4/3,y1+y2=2/3
则（×）式可化为：
m*(4/3)*(x1-x2)+n*(2/3)*(y1-y2)=0
即2m*(x1-x2)＝－n*(y1-y2)
所以斜率k(l)＝(y1-y2)/(x1-x2)=-2m/n=-1
即得2m=n
又a²=1/m,b²=1/n且c²=a²-b²=1
则1/m -1/n=1
1/m -1/(2m)=1
即1/(2m)=1
解得m＝1/2,n=2m=1
所以椭圆方程为：
x²/2 +y²=1