已知椭圆的中心在原点O 焦点在坐标轴上直线y=x+1与该椭圆相交与P和Q且OP⊥OQ 绝对值PQ=2分之根号10 求椭圆的方程

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2025/01/31 05:45:23

已知椭圆的中心在原点O焦点在坐标轴上直线y=x+1与该椭圆相交与P和Q且OP⊥OQ绝对值PQ=2分之根号10求椭圆的方程已知椭圆的中心在原点O焦点在坐标轴上直线y=x+1与该椭圆相交与P和Q且OP⊥O

已知椭圆的中心在原点O 焦点在坐标轴上直线y=x+1与该椭圆相交与P和Q且OP⊥OQ 绝对值PQ=2分之根号10 求椭圆的方程
已知椭圆的中心在原点O 焦点在坐标轴上直线y=x+1与该椭圆相交与P和Q
且OP⊥OQ 绝对值PQ=2分之根号10 求椭圆的方程

已知椭圆的中心在原点O 焦点在坐标轴上直线y=x+1与该椭圆相交与P和Q且OP⊥OQ 绝对值PQ=2分之根号10 求椭圆的方程
根据题意,假设P和Q的坐标分别为：(a,a+1),(b,b+1);
根据条件绝对值PQ=2分之根号10,可得到：
5/2=(a-b)^2+[(a+1)-(b+1)]^2
化简可得到：
4（a-b）^2=5,.(1)
根据OP⊥OQ ,可得到他们的斜率的乘积为-1,即：
(a+1)/a * (b+1)/b=-1,
2ab+a+b+1=0.(2)
解方程组可得到：
P（(-1-√5)/4,(3-√5)/4）, Q((-3-√5)/4,(1-√5)/4)
假设椭圆的方程为：x^2/m^2+y^2/n^2=1,将上述两点代入椭圆方程,并解出方程可得到m^2和n^2,进而可得到椭圆的方程.

全部展开

设椭圆方程：aX^2+by^2=1 (a、b>0)
两交点为p(x1,x1+1),Q(x2,x2+1)
联立直线方程消去y：(a+b)X^2+2bx+b-1=0。
利用交点弦公式:|PQ|=根(1+k^2)*根((x1+x2)^2-4x1x2)=根10/2；
利用韦达定理
=>(a+b-ab)/(a+b)^2=5/16
再由垂直=>(x1,x1+1)·(x2,x2+1)=0=>利用韦达定理的a+b=2
带入(a+b-ab)/(a+b)^2=5/16=>ab=3/4
=>a=3/2;b=1/2或a=1/2,b=3/2;
=>椭圆方程为：
3(x^2)/2+(y^2)/2=1
或(x^2)/2+3(y^2)/2=1

收起

已知椭圆的中心在原点O 焦点在坐标轴上 直线y=x+1与该椭圆相交与P和Q且OP⊥OQ 绝对值PQ=2分之根号10 求椭圆的方程

已知椭圆的中心在原点O 焦点在坐标轴上直线y=x+1与该椭圆相交与P和Q且OP⊥OQ 绝对值PQ=2分之根号10 求椭圆的方程