一道数列综合题设函数f(x)=4^x 非零数列{An}满足A1=f(log4(4是底数)T)(T为正常数,且T≠1),f(A(n+1)=1/f(-T An) (n∈N) (1)求数列{An}的同项公式; (2) 设Bn=(2Sn/An) + 1,若数列{Bn}为等比数列,求T的值;(3)在满足(2)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 09:36:08
一道数列综合题设函数f(x)=4^x 非零数列{An}满足A1=f(log4(4是底数)T)(T为正常数,且T≠1),f(A(n+1)=1/f(-T An) (n∈N) (1)求数列{An}的同项公式; (2) 设Bn=(2Sn/An) + 1,若数列{Bn}为等比数列,求T的值;(3)在满足(2)
一道数列综合题
设函数f(x)=4^x 非零数列{An}满足A1=f(log4(4是底数)T)(T为正常数,且T≠1),f(A(n+1)=1/f(-T An) (n∈N) (1)求数列{An}的同项公式; (2) 设Bn=(2Sn/An) + 1,若数列{Bn}为等比数列,求T的值;(3)在满足(2)的条件下,设Cn=(1/1+An)+(1/1-An),数列{Cn}的前n项和为Tn,求证Tn＞2n - 1/3
一道数列综合题设函数f(x)=4^x 非零数列{An}满足A1=f(log4(4是底数)T)(T为正常数,且T≠1),f(A(n+1)=1/f(-T An) (n∈N) (1)求数列{An}的同项公式; (2) 设Bn=(2Sn/An) + 1,若数列{Bn}为等比数列,求T的值;(3)在满足(2)
解 ：A1=4^(log4T)=T
因为 f(An+1)=1/f(-TAn)
所以有 f(An+1)*f(-TAn)=1
4^(An+1)*4^(-TAn)=1
即 An+1-TAn=0
A(n+1)/An=T
所以An为等比数列 An =T^n
(2)Bn+1=[2Sn+1/T^(n+1)]+1
Bn =[2Sn/T^n] +1
分别化简的T^(n+1) B(n+1)=2S(n+1) +T^(n+1)
T^nBn=2Sn +Tn
相减得 T^n[TB(n+1)-Bn]=
2[S(n+1)-Sn]+T^(n+1) -Tn
化简的 TB(n+1)-Bn=3T-1
因为 Bn为等比数列 所以
3T-1=0 即 T=1/3
（3）解 ;带入化简的
Cn =2*3^2n/[(3^2n)-1]
》2*3^2n/3^2n=2
所以 Tn>2n>2n-1/3
1)A1 = f(log4T),代入易得A1 = T ，同理f(A(n+1)=1/f(-T An)，得到
4^[A(n+1)] = 1/[4^(-T An)],即 A(n+1) = T An，又An是非零数列，那么显然An就是首项为T，公比为T的等比数列，通项不难写出An = T^n
2)利用等比数列性质 B2 * B2 = B1 * B3算出T。依次写出B1,B2,B3
...
全部展开
1)A1 = f(log4T),代入易得A1 = T ，同理f(A(n+1)=1/f(-T An)，得到
4^[A(n+1)] = 1/[4^(-T An)],即 A(n+1) = T An，又An是非零数列，那么显然An就是首项为T，公比为T的等比数列，通项不难写出An = T^n
2)利用等比数列性质 B2 * B2 = B1 * B3算出T。依次写出B1,B2,B3
B1 =（2T/T)+1 =3, B2 = [2(T+T^2)/T^2]+ 1 = 3+2/T
B3 =[2(T+T^2+T^3)/T^3]+1 = 3 + 2/T^2 + 2/T
于是得到方程3*（3 + 2/T^2 + 2/T ） = （3+2/T)^2，解出 T = 1/3
3)Cn=1/(1+An) + 1/(1-An) = 2/(1-An^2)，分母显然比1小，所以有Cn>2。下面用数学归纳法证明原不等式
n=1时，有T1 = C1 = 2/(1-1/9) = 9/4 > 2*1 - 1/3 = 5/3显然成立
假设当n=k时也成立，则有Tk >2k-1/3, 当n=k+1时
T(k+1) = Tk +C(k+1) >2k-1/3 + C(k+1)
前面已经得出数列C的任一项都大于2，所以有
T(k+1) = Tk +C(k+1) > 2k-1/3 + 2 = 2(k+1) - 1/3
故原式得证
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