一道数列+极值的数学题,已知数列{an} 满足a1=a,(a≠0,且a≠1) 前n项和为Sn=[a÷（1-a）]（1－an）①求证：{an}为等比数列②记bn=anlgan（n∈N+）当a=-√7/3 时,是否存在正整数M使得对任意正整数n都有bn

一道数列+极值的数学题,已知数列{an} 满足a1=a,(a≠0,且a≠1) 前n项和为Sn=[a÷（1-a）]（1－an）①求证：{an}为等比数列②记bn=anlgan（n∈N+）当a=-√7/3 时,是否存在正整数M使得对任意正整数n都有bn
一道数列+极值的数学题,
已知数列{an} 满足a1=a,(a≠0,且a≠1) 前n项和为Sn=[a÷（1-a）]（1－an）
①求证：{an}为等比数列
②记bn=anlgan（n∈N+）当a=-√7/3 时,是否存在正整数M使得对任意正整数n都有bn≥bm
如果存在,求m,若不存在,说明理由

一道数列+极值的数学题,已知数列{an} 满足a1=a,(a≠0,且a≠1) 前n项和为Sn=[a÷（1-a）]（1－an）①求证：{an}为等比数列②记bn=anlgan（n∈N+）当a=-√7/3 时,是否存在正整数M使得对任意正整数n都有bn
证明：
①
an = Sn - Sn-1
an = a/(1-a) * (1 - an ) - a/(1-a) * (1 - an-1)
两边同乘（1-a）
(1-a) an = a(1 - an ) - a(1 - an-1)
an - a * an = a - a * an - a + a * an-1
an = a * an-1
an:an-1=a
由于常数 a != 1,所以{an}是等比数列.
②
bn=an lg an
根据第一题的证明可知bn是：
(a lg a)、(a^2 lg a^2)...(a^n lg a^n)
根据题意：对于任何正整数n具有bn>=bm
所以：
(a^n lg a^n ) >= a^m lg a^m
即：
n*a^n log a >= m*a^m log a
由于log a = log √7/3 < 0
所以：
n a^n

（1）
S(n+1)-Sn=[a/(1-a)][1-a(n+1)-1+an]=a(n+1)
[a/(a-1)][a(n+1)-an]=a(n+1)
[a(n+1)-an]/a(n+1)=1-an/a(n+1)=(a-1)/a=1-1/a
an/a(n+1)=1/a a(n+1)/an=a
因此，{an}为等比数列，公比为a。
第二问好象有...

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（1）
S(n+1)-Sn=[a/(1-a)][1-a(n+1)-1+an]=a(n+1)
[a/(a-1)][a(n+1)-an]=a(n+1)
[a(n+1)-an]/a(n+1)=1-an/a(n+1)=(a-1)/a=1-1/a
an/a(n+1)=1/a a(n+1)/an=a
因此，{an}为等比数列，公比为a。
第二问好象有问题，a不能为负值啊。
如果题目有意义的话，奇次项为负，并趋向于0，偶次项为正，趋向于无穷大。
则第一项最小，正整数m为1。不过题目本身好象无意义。

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第一题：Sn-Sn_1=an

an = Sn - Sn-1
= a/(1-a) * (1 - an ) - a/(1-a) * (1 - an-1)
两边同乘（1-a）
(1-a) an = a(1 - an ) - a(1 - an-1)
an - a * an = a - a * an - a + a * an-1
an = a * an-1
an:an-1=a ...

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an = Sn - Sn-1
= a/(1-a) * (1 - an ) - a/(1-a) * (1 - an-1)
两边同乘（1-a）
(1-a) an = a(1 - an ) - a(1 - an-1)
an - a * an = a - a * an - a + a * an-1
an = a * an-1
an:an-1=a
所以{an}是等比数列。
因为
-1容易知道
n为偶数时 bn<0
n为奇数时 bn>0
所以
如果存在正整数m适合题意
则m必为偶数
所以
设m=2k
则
b(2k+2)-b2k=2a(2k)(a2-1)[k-a2/(1-a2)]lg[a]
当a=-√7/3 时
得
a2-1=-2/9
a2/(1-a2)=7/2
所以
2a(2k)(a2-1)lg[a]>0
所以
当
k>7/2时
哟
b2k+2>b2k
得
b8当
k<7/2时
有
b2k+2得
b8所以
存在正整数M＝8使得对任意正整数n都有bn≥bm

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