以△ABC的边AB、AC为边长,向△ABC外部做正方形ABEF、ACGH,作AD⊥BC于点D,求证BC、BG、AD三线交于一点.如图,以△ABC的边AB、AC为边长,向△ABC外部做正方形ABEF、ACGH,作AD⊥BC于点D,连结EC、BG,求证BC、BG
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/31 13:57:18
以△ABC的边AB、AC为边长,向△ABC外部做正方形ABEF、ACGH,作AD⊥BC于点D,求证BC、BG、AD三线交于一点.如图,以△ABC的边AB、AC为边长,向△ABC外部做正方形ABEF、ACGH,作AD⊥BC于点D,连结EC、BG,求证BC、BG
以△ABC的边AB、AC为边长,向△ABC外部做正方形ABEF、ACGH,作AD⊥BC于点D,求证BC、BG、AD三线交于一点.
如图,以△ABC的边AB、AC为边长,向△ABC外部做正方形ABEF、ACGH,作AD⊥BC于点D,连结EC、BG,求证BC、BG、AD三线交于一点.
以△ABC的边AB、AC为边长,向△ABC外部做正方形ABEF、ACGH,作AD⊥BC于点D,求证BC、BG、AD三线交于一点.如图,以△ABC的边AB、AC为边长,向△ABC外部做正方形ABEF、ACGH,作AD⊥BC于点D,连结EC、BG,求证BC、BG
证明：连接FB、EC、FC、EB,
因为AF=AB AC=AE
∠FAC=∠BAE=90°+∠BAC
∴△FAC≅△BAE(SAS) ∴FC=BE
因为FN=NB BK=KC
∴NK∥=FC/2 同理：MK∥=BE/2
∴NK=MK
设FC交BE于P,交MK于R,BE交NK于H,交AC于Q,
四边形PRKH是平行四边形(对边分别平行)
因为△FAC≅△BAE∴∠ECA=∠BEA
∠CQP=∠EQA ∴△CQP∼△EQA
∴∠CPQ=∠EAQ=90°
∴四边形PRKH是矩形(一角为直角的平行四边形)
∴∠HKR=90°
即NK⊥MK
∴MK和NK关系：数量关系是相等,位置关系是互相垂直.
设BD=a，CD=b，AD=c，过E作EK垂直CB于CB的延长线于K，
BE=AE,∠K=∠ADB=90°,∠EBK=∠BAD,∠BEK=∠ABD，容易得知
Rt△BKE≌Rt△ADB
∴BK=AD=c，EK=BD=a，
∴tan∠ECK=a/(a b c)
设CE与AD交于M，BG与AD交于N，只要证明M与N重合即可，
MD
=DC*tan...
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设BD=a，CD=b，AD=c，过E作EK垂直CB于CB的延长线于K，
BE=AE,∠K=∠ADB=90°,∠EBK=∠BAD,∠BEK=∠ABD，容易得知
Rt△BKE≌Rt△ADB
∴BK=AD=c，EK=BD=a，
∴tan∠ECK=a/(a b c)
设CE与AD交于M，BG与AD交于N，只要证明M与N重合即可，
MD
=DC*tan∠ECK
=ab/(a b c)
根据对称性，得知
tan∠GBC=b/(a b c)
∴ND
=BD*tan∠GBD
=ab/(a b c)
∴MD=ND
即M、N重合，
即CE、BG、AD三线交于一点。
收起
（ACGH是正方形） ∠PAM ∠MAD=90 （∵FN//AD，AP⊥FN∴AP⊥AD）∴又∵AB=AF，AC=AM ∴△ABC≌△AFM ∴BC=FM ∴BC=2AK (AK=1／2FM）