抽象函数的证明问题f(x)定义域为R,值域为R+,且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,已知f(1)=1,求证:f(-x)=f(x)望大侠们赐教,不胜感激!第一条回答不正确,不过还是要感谢你的回答!第二条回答还有没有更简单一点
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 21:59:23
抽象函数的证明问题f(x)定义域为R,值域为R+,且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,已知f(1)=1,求证:f(-x)=f(x)望大侠们赐教,不胜感激!第一条回答不正确,不过还是要感谢你的回答!第二条回答还有没有更简单一点
抽象函数的证明问题
f(x)定义域为R,值域为R+,且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,已知f(1)=1,求证:f(-x)=f(x)
望大侠们赐教,不胜感激!
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抽象函数的证明问题f(x)定义域为R,值域为R+,且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,已知f(1)=1,求证:f(-x)=f(x)望大侠们赐教,不胜感激!第一条回答不正确,不过还是要感谢你的回答!第二条回答还有没有更简单一点
证明：用柯西法
对自然数n用归纳法可证f(nx)=nf(x)+n(n-1)x^2
令x=1得f(n)=n+n(n-1)=n^2,n∈N
令x=1/m(m∈N)得f(n/m)=nf(1/m)+n(n-1)/m^2=n/m^2+(n^2-n)/m^2=(n/m)^2
所以f(x)=x^2,x∈Q+
在f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy中令x=y=0得f(0)=0
令y=-x得f(x)+f(-x)=2x^2
设x<0,则-x>0,所以f(x)=2x^2-f(-x)=2x^2-(-x)^2=x^2,这就证明了f(x)=x^2,x∈Q
又lim(y→0）[f(x+y)-f(x)]=lim(y→0)[f(y)+2xy]=f(0)=0
所以f(x)在R上连续
因此f(x)=x^2对x∈R成立
所以f(x)为偶函数
取x=y=0,得f(0)=0,
取x=0,y=-x得f(0-x)=f(0)+f(-x)
所以f(-x)=f(x)。