已知函数f(x)=(1+a2^x)/(2^x+b)是奇函数,并且函数f(x)的图像过点（1,3）（1）求实数a,b的值.（2）求函数f(x)的值域.(3)证明f(x)在（0,＋∞）上单调递减,并写出f(x)的单调区间
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 15:26:31
已知函数f(x)=(1+a2^x)/(2^x+b)是奇函数,并且函数f(x)的图像过点（1,3）（1）求实数a,b的值.（2）求函数f(x)的值域.(3)证明f(x)在（0,＋∞）上单调递减,并写出f(x)的单调区间
已知函数f(x)=(1+a2^x)/(2^x+b)是奇函数,并且函数f(x)的图像过点（1,3）
（1）求实数a,b的值.
（2）求函数f(x)的值域.
(3)证明f(x)在（0,＋∞）上单调递减,并写出f(x)的单调区间
已知函数f(x)=(1+a2^x)/(2^x+b)是奇函数,并且函数f(x)的图像过点（1,3）（1）求实数a,b的值.（2）求函数f(x)的值域.(3)证明f(x)在（0,＋∞）上单调递减,并写出f(x)的单调区间
1、这里不能用f(0)=0,因为0不一定在定义域里面
f(-x)=[1+a·2^(-x)]/[2^(-x)+b]
=[1+(a/2^x)]/[(1/2^x)+b]
=[(2^x+a)/2^x]/[(1+b·2^x)/2^x]
=(2^x+a)/(1+b·2^x)
∵f(x)是奇函数
∴f(-x)=-f(x)在定义域上恒成立
∴(2^x+a)/(1+b·2^x) = -(1+a·2^x)/(2^x+b),在定义域上恒成立
即：(2^x+a)(2^x+b)= -(1+a·2^x)(1+b·2^x),在定义域上恒成立
即：2^(2x) + (a+b)2^x + ab = -1 - (a+b)2^x - ab·2^(2x),在定义域上恒成立
即：(ab+1)2^(2x) + 2(a+b)2^x + ab+1 = 0,在定义域上恒成立
∴ab+1 = 0,a+b=0
∴a=1,b=-1或a=-1,b=1
又∵f(1)=(1+2a)/(2+b)=3
∴a = 1,b = -1
2、
f(x) = (2^x + 1)/(2^x - 1)
= (2^x - 1 + 2)/(2^x - 1)
=1 + 2/(2^x - 1)
∵2^x＞0
∴2^x - 1＞-1
∴1/(2^x - 1)＜-1 或 1/(2^x - 1)＞0
∴2/(2^x - 1)＜-2 或 2/(2^x - 1)＞0
∴1 + 2/(2^x - 1)＜-1 或 1 + 2/(2^x - 1)＞1
∴值域为(﹣∞,-1)∪(1,﹢∞)
3、
法一：
f(x) = (2^x + 1)/(2^x - 1) = 1 + 2/(2^x - 1)
∵ y=2^x在(0,﹢∞)上单调递增
∴y=2^x - 1在(0,﹢∞)上单调递增
∵x＞0,∴2^x＞2^0 = 1,∴2^x - 1＞0
∴y=2/(2^x - 1)在(0,﹢∞)上单调递减
∴f(x)=1 + 2/(2^x - 1)在(0,﹢∞)上单调递减
同理：
当x＜0时,∴2^x＜2^0 = 1,∴2^x - 1＜0
∴y=2/(2^x - 1)在(0,﹢∞)上单调递减 (还是单调递减,∵y=2/x不管x＞0还是x＜0都是单调递减)
∴f(x)=1 + 2/(2^x - 1)在(﹣∞,0)上单调递减
∴f(x)的单调递减区间为(﹣∞,0) 和 (0,﹢∞) 这里不能用“∪”
法二：
设：x2＞x1＞0
f(x) = (2^x + 1)/(2^x - 1) = 1 + 2/(2^x - 1)
f(x2) - f(x1)
= 2/(2^x2 - 1) - 2/(2^x1 - 1)
=(2·2^x1 - 2 - 2·2^x2 + 2)/[(2^x2 - 1)(2^x1 - 1)]
=2(2^x1-2^x2) /[(2^x2 - 1)(2^x1 - 1)]
∵x2＞x1＞0,∴2^x2＞2^x1＞2^0 = 1,∴2^x2 - 1＞2^x1 - 1＞0
∴f(x2) - f(x1) ＜0
即：f(x2)＜f(x1)
∴f(x)在(0,﹢∞)上单调递减
同理：
当x1＜x2＜0时,∴2^x1＜2^x2＜2^0 = 1,∴2^x1 - 1＜2^x2 - 1＜0
∴f(x2) - f(x1) ＜0
即：f(x2)＜f(x1)
∴f(x)在(﹣∞,0)上单调递减
∴f(x)的单调递减区间为(﹣∞,0) 和 (0,﹢∞)