已知圆O:x2+y2=1,交x轴于AB两点,△PAD为锐角三角形,PA交圆O于C,PB交圆O于D,过D作圆O的切线交过A点的x轴垂线于M,过C作圆O的切线交过B点的x走垂线于N. (1)若MA=3,NB=2,求P坐标 (2)求证:M,P,N三点共线
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/31 08:57:13
已知圆O:x2+y2=1,交x轴于AB两点,△PAD为锐角三角形,PA交圆O于C,PB交圆O于D,过D作圆O的切线交过A点的x轴垂线于M,过C作圆O的切线交过B点的x走垂线于N. (1)若MA=3,NB=2,求P坐标 (2)求证:M,P,N三点共线
已知圆O:x2+y2=1,交x轴于AB两点,△PAD为锐角三角形,PA交圆O于C,PB交圆O于D,过D作圆O的切线交过A点的x轴垂线于M,过C作圆O的切线交过B点的x走垂线于N. (1)若MA=3,NB=2,求P坐标 (2)求证:M,P,N三点共线
已知圆O:x2+y2=1,交x轴于AB两点,△PAD为锐角三角形,PA交圆O于C,PB交圆O于D,过D作圆O的切线交过A点的x轴垂线于M,过C作圆O的切线交过B点的x走垂线于N. (1)若MA=3,NB=2,求P坐标 (2)求证:M,P,N三点共线
（1）根据题意,M(-1,3) N(1,2)
设直线MD方程为：y-3=k(x+1)
直线NC方程为：y-2=m(x-1)
因为直线MD和直线NC都是圆O的切线,所以圆心到两条直线的距离都为1
|k+3|/√(k^2+1)=1
k^2+6k+9=k^2+1
k=-4/3
|2-m|/√(m^2+1)=1
4-4m+m^2=m^2+1
m=3/4
所以直线MD方程为：y=-4/3*x+5/3
直线NC方程为：y=3/4*x+5/4
(-4/3*x+5/3)^2+x^2=1
25/9*x^2-40/9*x+16/9=0
(5x-4)^2=0
x=4/5 y=3/5
所以D(4/5,3/5)
直线BD的方程为：y=(3/5)/(4/5-1)*(x-1)=-3x+3
(3/4*x+5/4)^2+x^2=1
25/16*x^2+30/16*x+9/16=0
(5x+3)^2=0
x=-3/5 y=4/5
所以C(-3/5,4/5)
直线AC的方程为：y=(4/5)/(-3/5+1)*(x+1)=2x+2
-3x+3=2x+2
x=1/5 y=12/5
所以点P坐标为(1/5,12/5)
（2）M(-1,3) N(1,2) P(1/5,12/5)
直线MP的斜率=(12/5-3)(1/5+1)=-1/2
直线MN的斜率=(3-2)/(-1-1)=-1/2
因为两条直线斜率相等,且都经过点M,所以M,N,P三点共线
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