初中数学 求最小值正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有点P,使PD＋PE的和最小,则这个最小值是多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 12:47:40
初中数学 求最小值正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有点P,使PD＋PE的和最小,则这个最小值是多少?
初中数学 求最小值
正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有点P,使PD＋PE的和最小,则这个最小值是多少?
初中数学 求最小值正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有点P,使PD＋PE的和最小,则这个最小值是多少?
证明：连接PB,因为三角形APB全等于三角形ABD(边,角,边）
所以PD=PB
PD+PE=PB+PE,
在△PBE中,PB+PE>BE,当P点与AC,BE的交点重合时,
PB+PE=BE 此时的值为最小.
因为正方形的面积=12 ,BE=AB=√12=2√3,
故：PD+PE=PB+PE=√12=2√3为最小值.
连接BD，交AC于O，
∵正方形ABCD，
∴OD=OB，AC⊥BD，
∴D和B关于AC对称，
则BE交于AC的点是P点，此时PD+PE最小，
即此时PD+PE=BE，
∵正方形的面积是12，等边三角形ABE，
∴BE=AB=√12=2√3，
即最小值是2√3，
由于正方形具有对称性，所以PD=PB，由于两边之和大于第三边，所以，PB+PE大于等于BE，即PD+PE大于等于BE，因为S正方形=12，所以边长AB=2倍根3，因为三角形ABE是等边三角形，所以BE=AB，所以最小值为2倍根3
连接BE，交AC于点P
∵正方形ABCD是轴对称图形
即B与D关于AC对称
∴BP=PD
∴PD＋PE=BP+PE
∵BP+PE大于等于BE
∴BP+PE=BE时最小
∵S正方形ABCD=12
∴AB=2√3
∵△ABE是等边三角形
∴BE=AB=2√3
∴这个最小值为2√3。
（希望能帮助你）...
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连接BE，交AC于点P
∵正方形ABCD是轴对称图形
即B与D关于AC对称
∴BP=PD
∴PD＋PE=BP+PE
∵BP+PE大于等于BE
∴BP+PE=BE时最小
∵S正方形ABCD=12
∴AB=2√3
∵△ABE是等边三角形
∴BE=AB=2√3
∴这个最小值为2√3。
（希望能帮助你）
收起
连接BD， ∵正方形ABCD ∴BD与AC互相垂直平分， ∴点B与D关于AC对称 ∴BE与AC的交点就是所求的使得PD＋PE的和最小的点P 由对称性可知：PD+PE=PB+PE=BE=AB=√12=2√3 即这个最小值为2√3。