高中f(x)=1/3x^3 +ax^2-bx在 [-1,2]上单调递减求a+b最小值 急,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 16:59:03
高中f(x)=1/3x^3 +ax^2-bx在 [-1,2]上单调递减求a+b最小值 急,
高中f(x)=1/3x^3 +ax^2-bx在 [-1,2]上单调递减求a+b最小值 急,
高中f(x)=1/3x^3 +ax^2-bx在 [-1,2]上单调递减求a+b最小值 急,
对函数f(x)求导,得 f(x)'=x^2+2ax-b
由已知得在区间【-1,2】上f(x)'小于等于0
所有,必有Δ＞0,即4a^2+4b＞0
分析f(x)'的函数图象,易得,要满足条件,只需
╱f(-1)'≤0 即╱1-2a-b≤0
╲f(2)≤o ╲4+4a-b≤0
移项整理得╱5≤10a+5b ①
╲4≤-4a+b ②
①+②式得9≤6a+6b
化简得a+b≥3/2
因为a+b≥3/2时,明显的,4a^2+4b＞0成立
所有a+b的最小值为3/2
分析与总结：
求函数的单调性方法很多,但“万能”的只有求导,所有看见求单调性首先考虑求导；
求导后接着怎么办,分析问题与已知的关系,得出 “在区间【-1,2】上f(x)'小于等于0” 的结果；
再进一步分析,对于二次函数f(x)',开口向上,f(-1)'≤0要满足条件,则必有Δ＞0,这是最后用来检验的f(-1)'≤0；
对于函数,我们常结合图象,可得f(-1)'≤0和f(2)≤0；
此时,怎么办呢?让我们从问题入手吧.求a+b的最小值,无非两种情况：1.分别求出a、b的最小值；2.求a+b的整体最小值.对于此题,明显选择后者；
计算：想办法拼凑出a+b.首先,将含有ab的移到一边,即1≤2a+b ③和4≤-4a+b ④；然后,就是拼凑出a+b了.由不等式定理"a＜b,c＜d,那么a+c＜b+d"我们可以将③④相加,但得不到a+b
,那就设未知数,使得x③+y④得出a+b的式子.所有,先利用恒等式定理求出xy的值.即
2x-4y=x+y(带入xy后,a与b的系数相等,由此列出等式）解得,x=5y,所以,另x=5,y=1;
再由 ①+②式得9≤6a+6b,再得a+b≥3/2；
最后一步,检验.
f(x)=1/3x^3 +ax^2-bx在 [-1,2]上单调递减
则设f'(x)=x^2+2ax-b=(x-x1)(x-x2)<0
x1+x1=-2a x1x2=-b
a=(-1/2)(x1+x2) b=-x1x2
a+b=(-1/2)(x1+x2)-x1x2
当x1+x2=2-1=1 x1x2=-2
a+b最小=(-1/2)*1+2=3/2...
全部展开
f(x)=1/3x^3 +ax^2-bx在 [-1,2]上单调递减
则设f'(x)=x^2+2ax-b=(x-x1)(x-x2)<0
x1+x1=-2a x1x2=-b
a=(-1/2)(x1+x2) b=-x1x2
a+b=(-1/2)(x1+x2)-x1x2
当x1+x2=2-1=1 x1x2=-2
a+b最小=(-1/2)*1+2=3/2
收起