抛物线y=-x^2+px+q的零点一个在(-1,0),一个在(1,2),当p,q为正整数时,求p,q的值如题
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 12:33:58
抛物线y=-x^2+px+q的零点一个在(-1,0),一个在(1,2),当p,q为正整数时,求p,q的值如题
抛物线y=-x^2+px+q的零点一个在(-1,0),一个在(1,2),当p,q为正整数时,求p,q的值
如题
抛物线y=-x^2+px+q的零点一个在(-1,0),一个在(1,2),当p,q为正整数时,求p,q的值如题
原抛物线方程:y=-x^2+px+q化为
y=-(x-p/2)^2+(p^2+4q)/4
易知函数y=-x^2+px+q为二次上凸(下凹)函数,即开口向下的二次函数,
由题意知抛物线有两个不同的零点
从而必有抛物线最高点:(p^2+4q)/4>0 …①
考虑零点取已知区间极值的情况:
1)一个零点为-1,一个为1,此时对称轴x=0
从而p/2>0
2)一个零点为0,一个为2,此时对称轴x=1
从而p/2<1
综合1),2)有0<p<2
又p为整数,故p=1 (到这儿可知①肯定成立啦)
从而y=-x^2+x+q
下面确定q的值:
由题意抛物线y=f(x)=-x^2+x+q的零点一个在(-1,0),一个在(1,2),
有f(-1)f(0)<0,即q(q-2)<0,解得:0<q<2
另外f(1)f(2)<0,即q(q-2)<0,其实和上一个为同一个不等式呵O(∩_∩)O~
因为q也是整数,0<q<2,所以q=1
综上p=1,q=1.
PS:得到f(-1)f(0)<0的原理,就是若抛物线(这里说所有二次抛物线)的零点在
(-1,0)上,那么是不是f(-1),f(0)必然是一个取正值,一个取负值呢?!
f(-1),f(0)一正一负,从而:f(-1)f(0)<0
这个思想对解决这种零点在某个区间上不确定值时很重要哦!