一个三棱锥的侧面都是等腰直角三角形,侧棱长为a ,求其内切球的半径用相似解超急

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/29 06:29:56

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用相似解超急

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把内切球心O与四个顶点相连组成4个小棱锥,
三个侧面是等腰直角三角形,底面是边长为√2a的正三角形,
设内切球半径为R,则4个棱锥体积为：R*(a^2/2+a^2/2+a^2/2)/3+R*(√3/4）*（√2a)^2/3=3a^2R/2+R√3a^2/2,
大棱锥体积=(a^2/2)*a/3=a^3/6,
a^3/6=R(3a^2/2+√3a^2/2)/3,
R=(3-√3)a/6.
若用一般方法,解如下：
设四棱锥为P-ABC,其中△ABC为正△,
作PH⊥ABC平面,H为三角形ABC的内心（外、垂心）,取BC中点M,连结PM,HM
HM=（√3/2）*√2a*/3=a√6/6,PM=√2a/2,PH=a√3/3,在平面PHM上作〈PMH的平分线交PH于O,则O为内切球心,根据角平分线比例线段定理,OH/OP=HM/PM,OH是内切球半径,设为R,R/(a√3/3-R)=(a√6/6)/(√2a/2)
R=(3-√3)a/6.
内切球半径为(3-√3)a/6.

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