用定义域证明：函数f(x)=x3在其定义域上是增函数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 14:34:22
用定义域证明：函数f(x)=x3在其定义域上是增函数
用定义域证明：函数f(x)=x3在其定义域上是增函数
用定义域证明：函数f(x)=x3在其定义域上是增函数
设x1
设x1，x2∈(-∞，∞)，且x1 < x2，则有：
x2－x1 > 0
∴f(x2)－f(x1)＝(x2)^3－(x1)^3＝(x2－x1)·[(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2]
(1)当x1，x2同号时，即x1·x2 > 0，则
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x2)^2－2·x2·x1＋(x1)^2＋3·x2·x1＝(x2－x1)^2＋3·x1...
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设x1，x2∈(-∞，∞)，且x1 < x2，则有：
x2－x1 > 0
∴f(x2)－f(x1)＝(x2)^3－(x1)^3＝(x2－x1)·[(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2]
(1)当x1，x2同号时，即x1·x2 > 0，则
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x2)^2－2·x2·x1＋(x1)^2＋3·x2·x1＝(x2－x1)^2＋3·x1·x2
∵(x2－x1)^2 ≥ 0，3·x1·x2 > 0
∴(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2 > 0
(2)当x1，异号时，即x1·x2 < 0，则
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x2)^2＋2·x2·x1＋(x1)^2－x2·x1＝(x2＋x1)^2－x1·x2
∵(x2－x1)^2 ≥ 0，-x1·x2 > 0
∴(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2 > 0
(3)当x1＝0，x2 > 0时，则
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x2)^2 > 0
(4)当x2＝0，x1 < 0时，则
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x1)^2 > 0
综上所述，(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2 > 0
∴(x2－x1)·[(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2] > 0
即f(x2)－f(x1) > 0
∴f(x)＝x^3在(-∞，∞)单调递增
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