四边形ABCD中,AB=CD=AD,∠ABC=60°,P为四边形ABCD内一点,且∠APD=120° 求证:PA+PD+PC≥BD

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/18 12:41:41
四边形ABCD中,AB=CD=AD,∠ABC=60°,P为四边形ABCD内一点,且∠APD=120°求证:PA+PD+PC≥BD四边形ABCD中,AB=CD=AD,∠ABC=60°,P为四边形ABCD

四边形ABCD中,AB=CD=AD,∠ABC=60°,P为四边形ABCD内一点,且∠APD=120° 求证:PA+PD+PC≥BD
四边形ABCD中,AB=CD=AD,∠ABC=60°,P为四边形ABCD内一点,且∠APD=120° 求证:PA+PD+PC≥BD

四边形ABCD中,AB=CD=AD,∠ABC=60°,P为四边形ABCD内一点,且∠APD=120° 求证:PA+PD+PC≥BD
证明:在四边形ABCD外侧作等边三角形AB′D,
延长AP到点E,使PE=PD,连接DE,
∵PE=PD,∠DPE=60°,
∴△PDE为等边三角形,
∵DB′=AD,DP=ED,∠B′DP=∠ADE,
∴△ADE≌△B′PD(SAS),
∴B'P=AP+PD,
易知B'C≤PB'+PC,得B'C≤PA+PD+PC.
∵△AB'D是等边三角形,
∴AB'=AD,∠B'AD=60°,
又易知△ABC是等边三角形,
故AC=AB,∠BAC=60°,
∴△AB'C≌△ADB,∴B'C=DB,
∴PA+PD+PC≥BD,得证.