已知三角形三边,求其外接圆半径,我不要公式,也不要三角函数,我只要推理过程!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 07:04:17
已知三角形三边,求其外接圆半径,我不要公式,也不要三角函数,我只要推理过程!
已知三角形三边,求其外接圆半径,我不要公式,也不要三角函数,我只要推理过程!
已知三角形三边,求其外接圆半径,我不要公式,也不要三角函数,我只要推理过程!
已知△ABC,BC=a,AB=c,AC=b,直径AD,BC边上高AE,连结DC,
设半径为R,
〈ADC=〈B,（同弧圆周角相等）,
〈ACD=90°,（半圆上圆周角为直角）,
〈BEA=90°,
△ABE∽△ADC,
AB/AD=AE/AC,
c/(2R)=AE/b,
R=bc/(2AE),(1)
若△ABC面积为S,
S=BC*AE/2,
AE=2S/a,
代入（1）式,
R=abc/(4S).
若用三边表示S,
设CE=x,根据勾股定理,
AC^2-x^2=AB^2-(BC-x)^2,
b^2-x^2=c^2-(a-x)^2,
x=(a^2+b^2-c^2)/(2a),
AE^2=b^2-[(a^2+b^2-c^2)/(2a)]^2,
AE^2=[(a+b)^2-c^2]*[c^2-(a-b)^2]/(4a^2)=(a+b-c)(a+b+c)(c-a+b)(c+a-b)/(4a^2),
设半周长p=（a+b+c)/2,
AE=√[2p*(2p-2c)(2p-2a)(2p-2b)]/(2a)=2√[p(p-a)(p-b)(p-c)]/a,
S=AE*BC/2=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],
此为三角形面积海伦公式,
∴R=abc/{4√[p(p-a)(p-b)(p-c)]}.
其中两边的垂直平分线的交点即是圆心（线段垂直平分线上的点到两点的距离相等）。
解析法：
设三角形的任意一个顶点在原点上，根据任意一个边长确定横坐标轴上的另一顶点。
根据海伦公式算出面积，再确定三角形高度（在横坐标轴上边所对应的）。
以原点为圆心以三角形另外两条边的任意一边为半径，写出圆的方程，把刚才计算的三角形的高代入纵坐标算出横坐标值，也就确定了三角形另外一个顶点的坐标。
再写出三角形任意两边垂直平分线的方程，并联立解方程组得出三角形外接圆...
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解析法：
设三角形的任意一个顶点在原点上，根据任意一个边长确定横坐标轴上的另一顶点。
根据海伦公式算出面积，再确定三角形高度（在横坐标轴上边所对应的）。
以原点为圆心以三角形另外两条边的任意一边为半径，写出圆的方程，把刚才计算的三角形的高代入纵坐标算出横坐标值，也就确定了三角形另外一个顶点的坐标。
再写出三角形任意两边垂直平分线的方程，并联立解方程组得出三角形外接圆圆心的坐标，即可确定外接圆的半径（圆心到原点的距离）
这个题很有意思我现在只想到了解析法，其他方法等想出后再补充。
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