求函数x^2+2ax+1在【t,t+1】上的值域?这题老师说不难,但我算不出来呢~
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 11:12:08
求函数x^2+2ax+1在【t,t+1】上的值域?这题老师说不难,但我算不出来呢~
求函数x^2+2ax+1在【t,t+1】上的值域?
这题老师说不难,但我算不出来呢~
求函数x^2+2ax+1在【t,t+1】上的值域?这题老师说不难,但我算不出来呢~
这个题目要分类讨论
函数f(x)=x²+2ax+1
它的对称轴是直线x=-b/2a=-a
由于a=1>0,
所以该函数有最小值,
当x=-a时,该函数的最小值为f(a)=(-a)²+2a×(-a)+1=-a²+1
接着分四类进行讨论
①当t+1≤-a时,即当t≤-a-1时
f(x)max=f(t)=t²+2at+1
f(x)min=f(t+1)=(t+1)²+2a(t+1)+1=t²+(2+2a)t+2+2a
∴此时它在[t,t+1]上的值域为[t²+(2+2a)t+2+2a,t²+2at+1]
②当t≤-a＜t+1且-a≥(t+t+1)/2时,即当-a-1/2≥t＞-a-1时
则f(x)max=f(t)=t²+2at+1
f(x)min=f(-a)=-a²+1
∴此时它在[t,t+1]上的值域为[-a²+1,t²+2at+1]
③当t≤-a＜t+1且-a＜(t+t+1)/2时,即当-a-1＞t＞-a-1/2时
则f(x)max=f(t+1)=t²+(2+2a)t+2+2a
f(x)min=f(-a)=-a²+1
∴此时它在[t,t+1]上的值域为[-a²+1,t²+(2+2a)t+2+2a]
④当-a＜t时,即t＞-a时
f(x)max=f(t+1)=(t+1)²+2a(t+1)+1=t²+(2+2a)t+2+2a
f(x)min=f(t)=t²+2at+1
∴此时它在[t,t+1]上的值域为[t²+2at+1,t²+(2+2a)t+2+2a]
∴综上所述
当t≤-a-1时,它在[t,t+1]上的值域为[t²+(2+2a)t+2+2a,t²+2at+1]
当-a-1/2≥t＞-a-1时,它在[t,t+1]上的值域为[-a²+1,t²+2at+1]
当-a-1＞t＞-a-1/2时,它在[t,t+1]上的值域为[-a²+1,t²+(2+2a)t+2+2a]
当t＞-a时,它在[t,t+1]上的值域为[t²+2at+1,t²+(2+2a)t+2+2a]