一道有点难的几何题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 07:27:44
一道有点难的几何题
一道有点难的几何题
一道有点难的几何题
连接BD.等腰三角形ABD,顶角96度,底角42度.
△BDC三角分别为48、54、78度.
∠BCE = 78-24 = 54度
∠ADE =96 - 24 = 72
等腰△CDE,底角24度.
等腰△ABD中可得 BD=2cos42 *AB
△BCD中,由正弦定理可得：
BC=BD*sin54/sin78
CD=BD*sin48/sin78
等腰△CDE,可得CE=DE=CD/(2cos24)=BD*sin48/(2cos24sin78)
三角形AED中,知道AD、DE、角ADE（72度）,由余弦定理算出AE.
AE²=AD²+DE²-2AD*DE*cos72
=AB²+(BD*sin48/(2cos24sin78))² -2AB*BD*sin48/(2cos24sin78)*cos72
=AB²+(AB*2cos42*sin48/(2cos24sin78))²-2AB*AB*2cos42*sin48/(2cos24sin78)*cos72
=AB²*(1+cos²42sin²48/(cos²24sin²78)-2cos42sin48cos72/(cos24sin78) )
=AB²*(1+(cos²42sin²48-2cos24sin78cos42sin48cos72)/(cos²24sin²78) )
=AB²*(1+sin²48*(sin²48-2cos24sin78cos72)/( cos²24sin²78))
=AB²*(1+sin²48*(4sin²24cos²24-2cos24cos12cos72)/(cos²24sin²78))
= AB²*(1+sin²48*2cos24(2sin²24cos24-cos12cos72)/(cos²24sin²78))
= AB²*(1+sin²48*2cos24 *cos12(sin48*2sin12-cos72)/(cos²24sin²78))
= AB²*(1+sin²48*2cos24 *cos12(2*(cos36-cos60)/2-cos72)/(cos²24sin²78))
= AB²*(1+sin²48*2cos24 *cos12(cos36-cos60-cos72)/(cos²24sin²78))
Cos36-cos72 = -2sin54sin(-18)=2sin54sin18 =2cos36sin18=2cos36sin18cos18/cos18
=cos36sin36/cos18 = (1/2)sin72/sin72 = 1/2 =cos60
所以AE²=AB²*(1+0)=AB²,AE=AB
AE=AB=AD
所以等腰三角形ADE,角EAD=180-72*2=36
∠BAE=96-36=60度
因为AE=AB,所以有一角是60度的三角形ABE是等边三角形.