2f(x^2)+f(1/x^2)=f(x),求f(x)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/06 04:39:04
2f(x^2)+f(1/x^2)=f(x),求f(x)
2f(x^2)+f(1/x^2)=f(x),求f(x)
2f(x^2)+f(1/x^2)=f(x),求f(x)
条件不足,不能确定f(x) (而且自由度很大).
由2f(x²)+f(1/x²) = f(x),有2f(1/x²)+f(x²) = f(1/x).
相加得3(f(x²)+f(1/x²)) = f(x)+f(1/x).
相减得f(x²)-f(1/x²) = f(x)-f(1/x).
设g(x) = f(e^x)+f(1/e^x),则易见g(-x) = g(x) (即g是一个偶函数),
且3g(2x) = 3(f(e^(2x))+f(1/e^(2x))) = f(e^x)+f(1/e^x) = g(x).
再设h(x) = f(e^x)-f(1/e^x),则易见h(-x) = -h(x) (即h是一个奇函数),
且h(2x) = f(e^(2x))-f(1/e^(2x)) = f(e^x)-f(1/e^x) = h(x).
下面说明,任意选定满足3g(2x) = g(x)的偶函数g,以及满足h(2x) = h(x)的奇函数h,
取f(x) = g(ln(|x|))+h(ln(|x|)),则f(x)满足要求.
f(x²) = g(ln(x²))+h(ln(x²)) = g(2ln(|x|))+h(2ln(|x|)) = 1/3·g(ln(|x|))+h(ln(|x|)),
f(1/x²) = g(-ln(x²))+h(-ln(x²)) = g(2ln(|x|))-h(2ln(|x|)) = 1/3·g(ln(|x|))-h(ln(|x|)),
故2f(x²)+f(1/x²) = g(ln(|x|))+h(ln(|x|)) = f(x),对任意x ≠ 0成立.
然而满足上述条件的g,h是非常多的.
因为在a处的取值只能决定在±a·2^k处(k为任意整数)的取值.
只要b不在这些数当中,在b处的取值就可以完全独立于a处的取值来选定.
此后被决定的只有±a·2^k,±b·2^k处的取值,其余的函数值仍可以随意选定.
虽然这种逐次选择的做法不太严格,但应该可以充分体现g,h自由度很大这个事实.
随便举一族例子:g(x) = |x|^(ln(3)/ln(2))·p(ln(|x|)),其中p为任意以ln(2)为周期的周期函数.