函数y=x+1/4x在[1,2]上的值域
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 16:09:19
函数y=x+1/4x在[1,2]上的值域
函数y=x+1/4x在[1,2]上的值域
函数y=x+1/4x在[1,2]上的值域
y=x+1/(4x)≥1
当且仅当
x=1/(4x),即x=1/2时成立
所以最小值x=1,y=5/4
最大值x=2my=17/8
所以值域[5/4,17/8]
配方易得y=4（x+1）^2+13/[6(x+1)]-4
=4（x+1）^2+13/[12(x+1)]+13/[12(x+1)]-4
≥3{[4(x+1)^2 ] * 13/[12(x+1)] * 13/[12(x+1)]}^(1/3)-4
=3(169/36)^(1/3)-4
当且仅当x=-1+(13/48)^(1/3)时等号成立
当x→+∞时，显然y→+...
全部展开
配方易得y=4（x+1）^2+13/[6(x+1)]-4
=4（x+1）^2+13/[12(x+1)]+13/[12(x+1)]-4
≥3{[4(x+1)^2 ] * 13/[12(x+1)] * 13/[12(x+1)]}^(1/3)-4
=3(169/36)^(1/3)-4
当且仅当x=-1+(13/48)^(1/3)时等号成立
当x→+∞时，显然y→+∞
故值域为[3(169/36)^(1/3)-4,+∞)
我可能把题目看错从而想复杂了
如果题目向推荐的那样理解，那就简单多了，解法如下：
y=[4(x+1)^2+9]/[6(x+1)]
=2(x+1)/3 +3/[2(x+1)]
令x+1=t,t＞0
y=2t/3 +3/(2t),由勾函数图像或基本不等式易知值域为[2,+∞)
收起
当X大于零时，用基本不等式a+b≥二倍根号下ab算出当X大于零时的最小值为1，因为它是奇函数，所以关于原点对称，故X小于零时的最大值是-1，所以值域为（1，+∞）∪（-∞，-1）。（注：它是个对钩函数）
∵y'=1-1/(4x²)=(2x+1)(2x-1)/4x²，
当x∈[1，2]时，y'>0，
∴y单调递增，
故x=1时，ymin=5/4，当x=2时，ymax=17/8，
即值域是[5/4，17/8]。