请问这道题出自哪一年的初三数学联赛?关于x,y的方程x2+y2=208(x-y)的所有正整数解我问这道题出自哪一年的初三数学联

请问这道题出自哪一年的初三数学联赛?关于x,y的方程x2+y2=208(x-y)的所有正整数解我问这道题出自哪一年的初三数学联
请问这道题出自哪一年的初三数学联赛?
关于x,y的方程x2+y2=208(x-y)的所有正整数解
我问这道题出自哪一年的初三数学联

请问这道题出自哪一年的初三数学联赛?关于x,y的方程x2+y2=208(x-y)的所有正整数解我问这道题出自哪一年的初三数学联
1990年的

易知X>Y
假设X=2K+1，则X^2为奇数，而208（X-Y）为偶数，所以Y为奇数，记Y=2T+1
有
2（2K^2+2K+2T^2+2T+1)=208*2(K-T)
（2K^2+2K+2T^2+2T+1)为奇数，208*2(K-T)/2为偶数，矛盾
所以X、Y都是偶数
那么假设
X=2^N*MA,Y=2^N*MB,(A、B互...

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易知X>Y
假设X=2K+1，则X^2为奇数，而208（X-Y）为偶数，所以Y为奇数，记Y=2T+1
有
2（2K^2+2K+2T^2+2T+1)=208*2(K-T)
（2K^2+2K+2T^2+2T+1)为奇数，208*2(K-T)/2为偶数，矛盾
所以X、Y都是偶数
那么假设
X=2^N*MA,Y=2^N*MB,(A、B互质,A>B，M为奇数）
有
2^2N*M^2*(A^2+B^2)=208*2^N*M(A-B)=2^(N+4)*13M(A-B)
假设A-B=C*2^P,(P为0或自然数，C为奇数）易知B、C互质
有
2^2N*M^2*(2B^2+2BC*2^P+C^2*2^2P)=2^(N+4)*13MC*2^P
P=0时
M^2*(2B^2+2BC+C^2)和13MC为奇数，所以
2^2N=2^(N+4),N=4
此时
M*(2B^2+2BC+C^2)=13C
由于13为质数，所以M为13或1
M=13时
C=2B^2+2BC+C^2>=C^2，1>=C矛盾
所以M=1
0=2B^2+2BC+C^2-13C
B=(-C±(26C-C^2）^(1/2))/2
由于B为整数，所以(26C-C^2）^(1/2)为完全平方数
记D^2=26C-C^2
当C有大于2的质因数Q时，D整除Q，则B也整除Q，B、C不互质，矛盾，所以C为1，B=2或B=-3，由于B>0，所以B=2带回X、Y得到
X=48，Y=32
P≠0时
2^（2N+1）*M^2*(B^2+BC*2^P+C^2*2^（2P-1）)=2^(N+4+P)*13MC
B为奇数时，同样有
N=3+P
B^2+BC*2^P+C^2*2^（2P-1）=13C
同样判断出C=1
即
B^2+B*2^P+2^（2P-1）=13,
有13>2^(2P-1),3>P
将P=1、2分别带入知仅当P=2时，B为整数，B=-5或B=1，由于B>0，所以排除B=-5，将B=1带回X、Y知
X=160，Y=32
P≠0，B为偶数时，则A可以整除2，与假设的A、B互质矛盾，所以B不是偶数
综上有
X=48，Y=32
X=160，Y=32

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x²+y²=208(x-y) (1)
移项得：x²-208x+y²+208y=0
将这个式子看作x的一元二次方程，为保证方程有正整数解，必须有△≥0
所以 △=208²-4(y²+208y)≥0
(y²+208y)≤208²/4=104²
...

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x²+y²=208(x-y) (1)
移项得：x²-208x+y²+208y=0
将这个式子看作x的一元二次方程，为保证方程有正整数解，必须有△≥0
所以 △=208²-4(y²+208y)≥0
(y²+208y)≤208²/4=104²
(y+104)²≤2*104²
|y+104|≤104√2
所以 -104√2-104≤y≤104(√2-1),
y为正整数，所以 0所以 0为进一步解题，先引入一个定理：
定理1：如果正整数x,y满足“x²+y²能被4整除”，则x,y必同为偶数
证明：x²+y²能被4整除，设 x²+y²=4k (2)
如果x,y为一奇一偶，则(2)式的左边为奇数，右边为偶数，等号不成立
所以x,y必同为奇数或同为偶数，如果x,y同为奇数，设x=2m+1,y=2n+1
代入(2)式得：4(m²+m)+1+4(n²+n)+1=4(m²+m+n²+n)+2=4k
等号仍然不可能成立，
所以x,y既不能为一奇一偶，也不能同为奇数，而只能同为偶数，定理得证
回到原题，x²+y²=208(x-y), 208(x-y)能被4整除，由定理1得x,y同为偶数，
设x=2x1, y=2y1, 代入得：4(x1)²+4(y1)²=416(x1-y1)
(x1)²+(y1)²=104(x1-y1), 因为104(x1-y1)能被4整除，再次运用定理1得
x1和y1同为偶数，设x1=2x2, y1=2y2, 则x=4x2, y=4y2, 代入得：
16(x2)²+16(y2)²=208*4(x2-y2),
(x2)²+(y2)²=52(x2-y2), 因为52(x1-y1)能被4整除，再次运用定理1得
x2和y2同为偶数，设x2=2x3, y2=2y3, 则x=8x3, y=8y3, 代入得：
64[(x3)²+(y3)²]=208*8(x3-y3)
(x3)²+(y3)²=26(x3-y3) (3)
因为 y3=y/8, 而0将(3)式变形 (x3)²-26x3+(y3)²+26y3, 将其看作x3的一元二次方程，解得：
x3=13±√[169-y3*(26+y3)]
当y3=1时，x3=13±√142 不是整数
当y3=2时，x3=13±√113 不是整数
当y3=3时，x3=13±√82 不是整数
当y3=4时，x3=13±7= 20 或 6
当y3=5时，x3=13±√14 不是整数
所以有 x3=20 或 6, y3=4
x=8x3=160 或 48, y=8y3=32
所以原题的整数解为
x=48，y=32 和 x=160，y=32

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2002

2008