一道几何难题（求其简洁证明）如图,在△ABC中,令∠A=α,∠B=β,∠C=γ且α>β,AD,BE,CF是它的三条垂线,AP,BQ是两条角平分线,I,O分别是它的内心和外心.证明：点D,I,E共线当且仅当P,O,Q共线,当且仅当O,I
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 12:22:23
一道几何难题（求其简洁证明）如图,在△ABC中,令∠A=α,∠B=β,∠C=γ且α>β,AD,BE,CF是它的三条垂线,AP,BQ是两条角平分线,I,O分别是它的内心和外心.证明：点D,I,E共线当且仅当P,O,Q共线,当且仅当O,I
一道几何难题（求其简洁证明）
如图,在△ABC中,令∠A=α,∠B=β,∠C=γ且α>β,AD,BE,CF是它的三条垂线,AP,BQ是两条角平分线,I,O分别是它的内心和外心.证明：点D,I,E共线当且仅当P,O,Q共线,当且仅当O,I,F共线
一道几何难题（求其简洁证明）如图,在△ABC中,令∠A=α,∠B=β,∠C=γ且α>β,AD,BE,CF是它的三条垂线,AP,BQ是两条角平分线,I,O分别是它的内心和外心.证明：点D,I,E共线当且仅当P,O,Q共线,当且仅当O,I
（角A大于角B的假设不知道是怎么回事,我姑且假设ABC是锐角三角形.当A、B中有一个是钝角或直角的时候下面的证明可能也成立）
设ABC的三边为a、b、c,内径为r.从O向BC、CA、AB作垂线,垂足依次记作X、Y、Z.
我们将证明,这三个共线的条件都等同于
OX+OY=OZ
或者等价地,
cosA + cosB = cosC
（一）设OZ与PQ交于O'.则P、O、Q共线,等价于O'=O.
作O'X'垂直BC于X',O'Y'垂直CA于Y'.过P作CA的垂线,垂足为P',过Q作BC的垂线,垂足为Q'.
不难验证,
O'X'/Q'Q + O'Y'/P'P = 1
P'P = (a+b+c)r/(b+c)
Q'Q = (a+b+c)r/(a+c)
aO'X'+bO'Y'+cO'Z = r(a+b+c) = 2S(ABC)
由此可以解得
O'X'+O'Y' = O'Z
而当O'Z>OZ,则O'X'OZ,OX+OY>OZ；当O'Z
最苯但也是一定可行的办法：设出三角形三边，计算出所有线段，再用梅涅劳斯定理证明。