三角形外接园与内接圆半径与三边边长的关系

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 14:37:07
三角形外接园与内接圆半径与三边边长的关系三角形外接园与内接圆半径与三边边长的关系三角形外接园与内接圆半径与三边边长的关系1.外接圆半径R：根据正弦定理以及余弦定理：a/sinA＝b/sinB＝c/si

三角形外接园与内接圆半径与三边边长的关系
三角形外接园与内接圆半径与三边边长的关系

三角形外接园与内接圆半径与三边边长的关系
1.外接圆半径R：
根据正弦定理以及余弦定理：
a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R
a2＝2bc•cosA
可得：
cosA＝(b2＋c2－a2)／2bc
∵ sin2A＋cos2A＝1,∠A∈（0,180°）
∴ sinA＝√(1－cos2A)
＝√[(a2＋b2＋c2)2—2(a4＋b4＋c4)] / (2bc)
代入正弦定理a/sinA＝2R,得：
R＝2abc /√[(a2＋b2＋c2)2—2(a4＋b4＋c4)]
（三角形外接圆半径与三边边长、面积的关系可推导得：R=abc/4S）
2.内接圆半径r：
∵ r=2S/(a+b+c) (S是三角形面积)
且根据众所周知的秦九韶—海伦公式,
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],其中p=(a+b+c)/2
∴ r=2√[p(p-a)(p-b)(p-c)] /(a+b+c)
3.三角形外接圆半径、内接圆半径与三边边长的关系可表示为：
R*r=(abc/4S)*[2S/(a+b+c)]=abc/2(a+b+c)
说明：
外接圆半径是指三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的交点到三个顶点的距离；
内接圆半径是指三角形三条边上的高线的交点到三条边的距离.

设三边长分别为a,b,c,设p=(a+b+c)/2,三角形面积S=√p(p-a)(p-b)(p-c),
外接圆半径R=abc/4S
内心连结各顶点，得三个小三角形，高为内切圆半径。其面积之和等于大三角形面积，
S=r(a+b+c)/2,r=2S/(a+b+c)

内接圆：S（三角形）=0.5*（a+b+c）*r

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