直角三角形的内切圆半径与三边关系公式怎么证明?

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/19 17:01:52
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直角三角形的内切圆半径与三边关系公式怎么证明?

直角三角形的内切圆半径与三边关系公式怎么证明?
已知：Rt△ABC中∠C=90°,内切圆⊙O分别切AB、BC、CA于D、E、F
求证：⊙O半径=(a+b-c)/2
证明：∵⊙O切AB、BC、CA于点D、E、F,
由切线长定理得：AE=AF、BD=BF,∴AC+BC-AB=AE+CE+BD+CD-AF-BF=CD+CE
∵四边形CDOE中,∠C=∠CDO=∠CEO=90°且OD=OE,
∴四边形CDOE是正方形,CD=CE=OD,
∴⊙O半径OD=CD=(AC+BC-AB)/2=(a+b-c)/2,证毕.

证明：
由等面积易得：ab=(a+b+c)r
即：(a+b)^2-a^2-b^2=2(a+b+c)r
(a+b)^2-c^2=2(a+b+c)r
(a+b+c)(a+b-c)=2(a+b+c)r
r=(a+b-c)/2

设Rt△ABC的两直角边分别为a、b，斜边为c，内切圆半径为r，则有
证明 如图1，设圆I切Rt△ABC三边于D、E、F，连结ID、IE．
易得IDCE是正方形．
∴2r=CD＋CE=(a-BD)+(b-AE)=a＋b-(BF＋AF)=a＋b-c，
在有关直角三角形的一些问题中，应用这个公式来解决非常方便...

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设Rt△ABC的两直角边分别为a、b，斜边为c，内切圆半径为r，则有
证明 如图1，设圆I切Rt△ABC三边于D、E、F，连结ID、IE．
易得IDCE是正方形．
∴2r=CD＋CE=(a-BD)+(b-AE)=a＋b-(BF＋AF)=a＋b-c，
在有关直角三角形的一些问题中，应用这个公式来解决非常方便

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