f(xy)=xf(y)+yf(x) 求f(x)任取x y∈R

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 00:19:00
f(xy)=xf(y)+yf(x)求f(x)任取xy∈Rf(xy)=xf(y)+yf(x)求f(x)任取xy∈Rf(xy)=xf(y)+yf(x)求f(x)任取xy∈R挺好的题f(xy)=xf(y)+

f(xy)=xf(y)+yf(x) 求f(x)任取x y∈R
f(xy)=xf(y)+yf(x) 求f(x)
任取x y∈R

f(xy)=xf(y)+yf(x) 求f(x)任取x y∈R
挺好的题
f(xy)=xf(y)+yf(x) --- (1)
设y=c=常量
则:f(cx)=cf(x)+f(c)x
两边求导数
f'(cx)*c=cf'(x)+f(c)
cf'(cx)-cf'(x)=f(c)
此式对任意x成立,所以,我们取x=1
则:cf'(c)-cf'(1)=f(c)
此式对任意c成立,所以c可以看做变量,而f'(1)总是个定值
我们取c为x
则:xf'(x)-f'(1)x=f(x)
f'(x)-[f(x)/x]=f'(1) ---(2)
令f'(x)-[f(x)/x]=0
则:df(x)/f(x)=dx/x
lnf(x)=lnx+c1
f(x)=cx
其中c可以看做是x的函数,
所以,令f(x)=x*u(x),代入(2)得:
(u+xu')-u=f'(1)
u'=f'(1)/x
u=f'(1)ln|x|+m,m为常量
所以:f(x)=(f'(1)ln|x|+m)x
当x>0,则:f(x)=(f'(1)lnx+m)x
f'(x)=f'(1)lnx+m+f'(1)
所以:f'(1)=m+f'(1)
m=0
f'(1)可以取任意定值,所以我们把它记作c,c为任意常量
则:f(x)=cxln|x|,此式的定义域为:x不等于0,
将它带回方程(1),方程(1)成立,
所以,f(x)=cxln|x|,是在x不等于0时方程(1)的解
再回头看方程(1)
当x=0,y=0
则得:f(0)=0
总结以上得:
当x不等于0时,f(x)=cxln|x|,c为任意常量
当x=0时,f(x)=0

令x=y=1,则有:
f(1)=f(1)+f(1)
f(1)=2f(1)
所以:
f(1)=0.
再令x=y=-1,则有:
f(1)=-f(-1)-f(-1)
所以:
2f(-1)=-f(1)=0
所以:
f(-1)=0
令y=-1,则有:
f(-x)=xf(-1)-f(x)
所以:
f(x)+f(-x)=0.
即f(x)为奇函数。

f(xy)=xf(y)+yf(x) 求f(x)任取x y∈R 设函数f(x)对一切实数x,y满足f(xy)=xf(y)+yf(x)-xy且|f(x)-x|≤1,求函数f(x). f(x+y)=e^yf(x)+e^xf(y);f'(0)=2;求f(x) 诺y=f(x)[0+无穷]上是增函数,f(xy)=xf(y)+yf(x),且满足f(x)+f(x-1/2) 设f (x)在(0,+∞)内有定义,f′(1)=2,又对于任意的x,y∈(0,+∞)恒有f(xy)=yf(x)+xf(y).求f(x). 已知f(x)是定义(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(X)+Xf(y).已知f(x)是定义(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(X)+xf(y)(1).求f(1),f(-1) 一知f(x)是定义域在(0,+∞)上的函数,f'(x)=2,又对任意xy属于(0,+∞)都有f(xy)=yf(x)+xf(y)求f(x)老师给的提示是f'(x)=lim (f(x+xy)-f(x))/ xy (y->0) 请问怎么求f(x)啊 一道高数题,求高手指教.f(x)在x>0有定义,在x=1处可导,f(xy)=yf(x)+xf(y).证明f'(x)在x>0存在. f(x)是定义域在负无穷大到正无穷大上的不恒为0的函数且定义域内的任意X,Y有f(xy)=yf(x)+xf(y)求f(1)的值 f(xf(x+y))=f(y(f(x))+x^2,求f(x),只有这么多分了,不好意思,又多打括号了,应该是f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^2,有劳大神们了 f(x)在1处可导f(xy)=yf(x)+xf(y) x,y任意大于0 证f(x)在大于0可导 f'(x)=f(x)/x+f(1) 已知:yf(x)+x^2*f(y)=2xy,求dy/dx 已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数对于任意的x y属于R有f(xy)=xf(y)+yf(x)1.求f(-1),f(1)的值2.判断函数的奇偶性3.若y=f(x)在[0,+无穷)上是增函数且满足f(x)+f(x-1/2) 已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数对于任意的x y属于R有f(xy)=xf(y)+yf(x)1.求f(-1),f(1)的值2.判断函数的奇偶性3.若y=f(x)在[0,+无穷)上是增函数且满足f(x)+f(x-1/2) 已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上不恒为0的函数,且对定义域内的任意xy,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y)(1)求f(1)f(-1)的值(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由 函数f(x)的定义域x∈(0,+∞),若对任意的x,y>0 ,总有f(xy)=xf(y)+yf(x)成立,试写出一个满足条件的函数f(x). 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x、y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y)(1)求f(1),f(—1)的值(2)判断f(x)白奇偶性,并说明理由 定义在R上的函数f(x) 满足对任意实数x,y 均有xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y) 求f(x)