圆内接四边形ABCD中,BA与CD交与点P,AD与BC交于点Q,AC与BD交于点M,求证：圆心O是三角形PQM的垂心.很清楚啊，你把它们延长就好了啊 别说没用的啊。。。简单就告诉我答案吧。。。

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 07:32:20
圆内接四边形ABCD中,BA与CD交与点P,AD与BC交于点Q,AC与BD交于点M,求证：圆心O是三角形PQM的垂心.很清楚啊，你把它们延长就好了啊别说没用的啊。。。简单就告诉我答案吧。。。圆内接四边

圆内接四边形ABCD中,BA与CD交与点P,AD与BC交于点Q,AC与BD交于点M,求证：圆心O是三角形PQM的垂心.很清楚啊，你把它们延长就好了啊 别说没用的啊。。。简单就告诉我答案吧。。。
圆内接四边形ABCD中,BA与CD交与点P,AD与BC交于点Q,AC与BD交于点M,求证：圆心O是三角形PQM的垂心.

很清楚啊，你把它们延长就好了啊 

别说没用的啊。。。简单就告诉我答案吧。。。

圆内接四边形ABCD中,BA与CD交与点P,AD与BC交于点Q,AC与BD交于点M,求证：圆心O是三角形PQM的垂心.很清楚啊，你把它们延长就好了啊 别说没用的啊。。。简单就告诉我答案吧。。。
此题有一定难度,难度在于线比较多,让人不知从何处下手.但是仔细分析原题还是可以找到路径的,这个路径就是四点共圆.
首先要知道一个定理,就是圆幂定理,也就是相交弦定理,切割线定理.不过据我所知,有一些地区的学校没有学习过该定理,鉴于此,有必要先讲一下圆幂定理.
切割线定理：从圆O外一点P引两条割线l和m,l与圆交于A、B两点,m与圆交于C、D两点（A、C两点在P点的近端）.根据四点共圆或者说圆内切四边形对角互为补角的特征,易证明△APB∽△DPC,进而得知PA*PB=PC*PD,这就是切割线定理.根据这一定理可以做进一步的探讨,既然PA*PB=PC*PD恒成立,那么从P点引一点过圆心的k线与相交于E和F,同样能满足PA*PB=PC*PD=PE*PF.设圆的半径为R,PE=PO-R,PF=PO+R,从而有PA*PB=PC*PD=PO^2-R^2,而这正是证明该题的必杀技.
相交弦定理：圆内两弦AB与CD相交于M,运用同弦圆周角相等的原理易证明AM*BM=CM*DM.同样该等式恒成立,所以可以从M引一条弦n与圆分别交于E和F,则AM*BM=CM*DM=EM*FM.而EM=R-MO,FM=R+MO,从而有AM*BM=CM*DM=R^2-MO^2.
有了这两个定理,证明此题就有门道了.设圆O半径为R,则有
QD*QA=QO^2-R^2
MB*MD=R^2-MO^2
不难发现二者之间有关系,但是需要一座桥梁将二者串联起来.
做△AMD的外接圆E,使此与QM的延长线交于F.A、F、M、D四点共圆,故
QM*（QM+MF）=QM*QF=QD*QA=QO^2-R^2 ①
又因为∠QBM=∠QAM（共CD弦,圆O）,∠QAM=∠DFM（共MD弦,圆E）,所以∠QBM=∠QBD=∠DFM,所以B、F、D、Q四点共圆（由同DQ弦等角反推）,则
MQ*MF=MB*MD=R^2-MO^2 ②
①式减②式可得
QM^2=QO^2+MO^2-2R^2 ③
同理,在P点,同样可以得出相同结论,即PM^2=PO^2+MO^2-2R^2 ④
③式减④式可得
MQ^2-MP^2=OQ^2-OP^2
所以OM⊥PQ.
同理可证OP⊥QM,OQ⊥PM
（此段提示：可以在PQ上找一个点G,让它与C、D、Q形成四点共圆,其实G、C、B、P也是四点共圆）
故圆心O是三角形PQM的垂心.
得证.
PS：其实这里还有一些隐藏的东东,比如QM与圆的两个交点,其实是过P点的圆切线的两切点,反过来也一样

这个简单

板凳

四边形ABCD中，BA与CD交与点P？ 没图还真不好理解..

如图,四边形ABCD中,AB>CD,点M,N分别是BC,AD的中点,BA与MN的延长线交于点E,CD与MN的延长线交于F,求证∠1<∠2 圆内接四边形ABCD中,BA与CD交与点P,AD与BC交于点Q,AC与BD交于点M,求证：圆心O是三角形PQM的垂心.很清楚啊，你把它们延长就好了啊 别说没用的啊。。。简单就告诉我答案吧。。。 如图,在四边形ABCD中,AB=CD.E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,分别与BA,CD的延长线交与点M,N,则角BME=角CNE 四边形ABCD中,AB＝CD但不平行,点M、N分别是AD、BC的中点,MN与BA、CD的延长线分别交于点P、Q.求证：角A 四边形ABCD中,AB=CD但不平行,点M、N分别是AD、BC的中点,MN与BA、CD的延长线分别交于点PQ求证：∠APM=∠DQM 四边形ABCD中,AB=CD但不平行,点M、N分别是AD、BC的中点,MN与BA、CD的延长线分别交于点P、Q.四边形ABCD中,AB＝CD但不平行,点M、N分别是AD、BC的中点,MN与BA、CD的延长线分别交于点P、Q.求证：角APM=角D 如图所示,四边形ABCD中,AB=CD,∠B≠∠C,M、N分别是AD、BC的中点,BA、CD的延长线分别交直线MN于点E、F求证∠BEM与∠CFM的关系 四边形ABCD中,AB=CD,MN分别是AD,BC的中点,NM的延长线与BA,CD的延长线分别交于点P,Q,求证：角BPN=角CQN 四边形ABCD中,AB=CD,M,N分别是AD,BC的中点,MN的延长线与BA,CD的延长线分别交于点P,Q,求证：∠1=∠2 如图,四边形abcd中,ab=cd,m、n分别为ad、bc的中点,ba、cd的延长线分别交mn的延长线与p、q .如图,四边形ABCD中,AB=CD ,G,H分别是BC,AD的中点,如图,四边形ABCD中,AB=CD ,G,H分别是BC,AD的中点,BA,CD的延长线分别交GH的延长线与点E,猜想角AEH与角DFH的关系.说明理由. 1如图,已知四边形ABCD是菱形,点E,F分别是CD,AD的中点,求证AE=CF 2已知菱形ABCD中,BD是对角线,过点D做DE⊥BA交BA的延长线与E点,诺BD=2DE,且AB=8,求菱形ABCD的面积 图片 1 如图1,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连结EF并延长,分别与BA、CD的延长线如图1,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连结EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME=∠CNE 已知四边形ABCD中,AB=CD,M是AD中点,N是BC的中点,MN延长线与BA延长线交于E,与CD延长线交于F求证∠BEN=∠CFN 如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,延长EF分别与BA的延长线交于点H,与CD的延长线交于点G,求证：∠AHF=∠DGF郑重表示,不会弄图片…… ABCD四边形ABCD中,M、N分别是AB、CD中点,BN与CM交于点P,AN与DM...@@@@ 在圆内接四边形ABCD中,CD为角BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E ,求证三角形ABD是等腰三角形 在圆内接四边形ABCD中,CD为角BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E求证AC×AF＝DF×FE