在三角形ABC的两边AB,AC上向形外作正方形 ABME和ACNF,BC边的垂直平分线交BC于P,交MN于Q,求证:PQ=PC
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/22 21:15:17
在三角形ABC的两边AB,AC上向形外作正方形 ABME和ACNF,BC边的垂直平分线交BC于P,交MN于Q,求证:PQ=PC
在三角形ABC的两边AB,AC上向形外作正方形 ABME和ACNF,BC边的垂直平分线交BC于P,交MN于Q,求证:PQ=PC
在三角形ABC的两边AB,AC上向形外作正方形 ABME和ACNF,BC边的垂直平分线交BC于P,交MN于Q,求证:PQ=PC
证明:作AG⊥BC于G,MH⊥BC反向延长线于G,NL⊥BC延长线于G
易证△MHB≌△BGA,△NLC≌△CGA
所以HB=AG,MH=BG,LC=AG,NL=GC又BP=PC
所以HP=LP,又PQ⊥BC,MH⊥BC,NL⊥BC
所以PQ为直角梯形MHLN的中位线
所以2PQ=MH+NL,因为MH=BG,NL=GC
所以2PQ=BG+GC=BC=2PC
所以PQ=PC
解答(用向量求解):
以P为坐标原点,BC所在直线为X轴,PQ所在直线为Y轴,建立直角坐标系
设A(m,n),B(-a,0),C(a,0),M(x1,y1),N(x2,y2)
向量CA=(m-a,n),向量CN=(x2-a,y2),
向量BA=(m+a,n),向量BM=(x1+a,y1),
向量CA⊥向量CN, |向量CA|=|向量CN|
所以(m...
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解答(用向量求解):
以P为坐标原点,BC所在直线为X轴,PQ所在直线为Y轴,建立直角坐标系
设A(m,n),B(-a,0),C(a,0),M(x1,y1),N(x2,y2)
向量CA=(m-a,n),向量CN=(x2-a,y2),
向量BA=(m+a,n),向量BM=(x1+a,y1),
向量CA⊥向量CN, |向量CA|=|向量CN|
所以(m-a)(x2-a)+ny2=0, (m-a)^2+n^2=(x2-a)^2+ y2^2
解得N(n+a,-m+a)
同理,由
向量BA⊥向量BM, |向量BA|=|向量BM|
解得M(-n-a, m+a)
所以K=[( n+a)-( -n-a)]/[( -m+a)-( m+a) ]=-m/(n+a)
MN: y-(m+a)= [-m/(n+a)](x+n+a)
MN与Y轴的交点就是Q点
所以在MN方程中,取X=0,得Q点纵坐标为a
所以PQ=PC=a
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