定义在R上的函数f(x)=(x+b)/(ax^2+1)(a.b∈R）是奇函数当且仅当x=1时f(x)取最大值 求a.b若函数g(x)=f(x)+mx/(1+x)在区间（-1,1）有且仅有两个不同的零点,求实数m的取值范围

定义在R上的函数f(x)=(x+b)/(ax^2+1)(a.b∈R）是奇函数当且仅当x=1时f(x)取最大值 求a.b若函数g(x)=f(x)+mx/(1+x)在区间（-1,1）有且仅有两个不同的零点,求实数m的取值范围
定义在R上的函数f(x)=(x+b)/(ax^2+1)(a.b∈R）是奇函数当且仅当x=1时f(x)取最大值 <1>求a.b
<2>若函数g(x)=f(x)+mx/(1+x)在区间（-1,1）有且仅有两个不同的零点,求实数m的取值范围

定义在R上的函数f(x)=(x+b)/(ax^2+1)(a.b∈R）是奇函数当且仅当x=1时f(x)取最大值 求a.b若函数g(x)=f(x)+mx/(1+x)在区间（-1,1）有且仅有两个不同的零点,求实数m的取值范围
因为是奇函数 所以f(0)=0 所以b=0
所以 f(x)=x/(ax^2+1)
求导 f'(x)=(ax^2+1-x*2ax)/(ax^2+1)^2
f'(1)=0=(-a+1)/(a+1)^2
所以a=1
g(x)=x/(x^2+1)+mx/(x+1)=0
x[1/(x^2+1)+m/(X+1)]=0
x=0
或 1/(x^2+1)+m/(X+1)=0
式子变形 -m=(x+1)/(x^2+1)
设h(x)=(x+1)/(x^2+1)
求导h'(x)=[x^2+1-(x+1)*2x]/(x^2+1)^2=(-x^2-2x+1)/(x^2+1)^2
令h'(x)=0
解得x1=-1+根号2 x2=-1-根号2
画导函数h'(x)分子二次函数图像,开口向下的抛物线 对称轴-1,取最大值
x1.x2为抛物线与x轴焦点
因为定义域为（-1,1）
所以舍去-1-根号2
列表：
（-1,-1+根号2） -1+根号2 （-1+根号2,1）
单调增 最大值 单调减
画h(x)图像定义域为（-1,1）
在区间（-1,1）有且仅有两个不同的零点
前面已经解出一个x=0,所以第二个x≠0
图像在（-1,-1+根号2）单调增挖去x=-1和0时的值
在（-1+根号2,1）单调减挖去x=1时的值
且x=-1 时h(x)=0
x=0和1时 h(x)=1
在图像上画水平线 找与水平线只有一个交点的部分,对应x的取值
再把x代人h(x)中求出h(x)的范围,即-m的范围为（0,1)∪（根号2+1)/2
所以m范围 (-1,0)∪(-根号2-1)/2
答案绝对是对的
老师就是这么讲的,

<1>由于是奇函数，所以b=0;f(x)=x/(ax^2+1),然后对右边分子分母同时除以x，所以当根号a=1/2时取得最大值，所以
a=1/4；
<2>通分；分母>0所以只看分母，x=0是一个解，然后得m/4x^2+x+m/4+1=0,当m=0是不成立，则德尔塔=0，就可以解m了（判断一下此时的x是否为0，如果为0舍）...

全部展开

<1>由于是奇函数，所以b=0;f(x)=x/(ax^2+1),然后对右边分子分母同时除以x，所以当根号a=1/2时取得最大值，所以
a=1/4；
<2>通分；分母>0所以只看分母，x=0是一个解，然后得m/4x^2+x+m/4+1=0,当m=0是不成立，则德尔塔=0，就可以解m了（判断一下此时的x是否为0，如果为0舍）

收起

<1>

∵f(x)是 奇函数

∴f(-x)=-f(x)

即(-x+b)/(ax^2+1)=-(x+b)/(ax^2+1)

∴b=-b,b=0

∴f(x)=x/(ax^2+1)

 ∵ f(x)定义域为R ∴a>0

 x>0时， f(x)=1/(ax+1/x)

 根据均值定理  ax+1/x≥2√a

当且仅当ax=1/x,x²=1/a,x=1/√a时取等号

 即x=1/√a时，f(x)取得最大值

又 函数当且仅当x=1时f(x)取最大值

∴a=1

∴a=1,b=0

<2> 

g(x)=x/(x²+1)+mx/(1+x)

令g(x)=0得：x/(x²+1)=-mx/(1+x)

因g(x)在区间（-1，1）有且仅有两个不同的零点

则 f(x)与h(x)=-mx/(1+x) （-1<x<1) 图像有2个交点

y=f（x) 为奇函数，由（1）知在（-1，1）上递增

值域为(-1/2,1/2)，图像过原点

h(x)=-mx/(1+x) =[-m(x+1)+m]/(1+x)=-m+m/(1+x)

对称中心为（-1，-m),图像为双曲线，过原点

即(0,0)为两个函数图像的1个交点，

若在（-1，1）之间还另外有且只有1个交点

需h(x)=-m+m/(1+x)图像递增，m<0,

且h(1)≤f(1) 即-m/2<1/2 ==>m>-1

∴符合条件的实数m的取值范围是(-1,0)