已知微分方程(y'')*[(1+x^2)]^2=y；通过变换y=u(t)sect ;x=tant,将方程化为u关于t的方程我怎么化都不对.答案是u''(t)=0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/05 18:45:11
已知微分方程(y'')*[(1+x^2)]^2=y；通过变换y=u(t)sect ;x=tant,将方程化为u关于t的方程我怎么化都不对.答案是u''(t)=0
已知微分方程(y'')*[(1+x^2)]^2=y；通过变换y=u(t)sect ;x=tant,将方程化为u关于t的方程
我怎么化都不对.答案是u''(t)=0
已知微分方程(y'')*[(1+x^2)]^2=y；通过变换y=u(t)sect ;x=tant,将方程化为u关于t的方程我怎么化都不对.答案是u''(t)=0
首先y=u(t)sect ,x=tant,
则dy=u'sect+usect*tgt,dx=sect*sect
则dy/dx=u'cost+usint
令v=dy/dx=u'cost+usint
则dv=u''cost-u'sint+u'sint+ucost=(u''+u)cost
则y''(关于x)=dv/dx=(u''+u)cost/(sect*sect)=(u''+u)(cost)^3
所以有(y'')*[(1+x^2)]^2=y
得到：(u''+u)*(cost)^3*(sect)^4=usect
所以u''+u=u
所以u''=0(关于t的二次导数)
.
这个问题可以考虑一下换元
因为x^2大于等于零恒成立，将其换成t，这样就变成了证明t>ln(1+t)的问题了，得到了简化。因为x^2>0(x 不等于零时）
而欲证明t>ln(1+t)可以两边取e的指数，就变成了e^t>1+t的问题了
令 f( t)= e^t-t,则
f“（t)=e^t-1,而t>0恒成立，即：f“（t)>0恒成立
即...
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这个问题可以考虑一下换元
因为x^2大于等于零恒成立，将其换成t，这样就变成了证明t>ln(1+t)的问题了，得到了简化。因为x^2>0(x 不等于零时）
而欲证明t>ln(1+t)可以两边取e的指数，就变成了e^t>1+t的问题了
令 f( t)= e^t-t,则
f“（t)=e^t-1,而t>0恒成立，即：f“（t)>0恒成立
即；f( t)>e-1>1成立
原式在x 不等于零时成立
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