已知三条射线OA、OB、OC,满足∠AOB=60°,∠AOC=∠BOC=45°,∠AOB所在的平面为α1.求平面OBC与面OBA所成的角2.求直线OC与平面α所成的角
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/23 05:18:16
已知三条射线OA、OB、OC,满足∠AOB=60°,∠AOC=∠BOC=45°,∠AOB所在的平面为α1.求平面OBC与面OBA所成的角2.求直线OC与平面α所成的角
已知三条射线OA、OB、OC,满足∠AOB=60°,∠AOC=∠BOC=45°,∠AOB所在的平面为α
1.求平面OBC与面OBA所成的角
2.求直线OC与平面α所成的角
已知三条射线OA、OB、OC,满足∠AOB=60°,∠AOC=∠BOC=45°,∠AOB所在的平面为α1.求平面OBC与面OBA所成的角2.求直线OC与平面α所成的角
从OC上做CD垂直于平面 α,垂足为D.
在平面AOC中,过C点做CM垂直于OA,垂足为M,在平面BOC中,过C点做CN垂直于OB,垂足为N.连接MN,DM,DN.
待求.(1)平面OBC与面OBA所成的角,即是求 ∠CND
(2)求直线OC与平面α所成的角,即是求 ∠COD
设OM的长为 1 ∵∴⊥
∵在平面AOC中,∠AOC = 45°,CM⊥OM
∴ △COM为等腰直角三角形.
∴CM = OM = x,OC = √2
同理,△CON为等腰直角三角形,ON = CN = OM = CM = 1
又∵∠AOB=60°
∴△AOB 是等边三角形
由以上可知,OD垂直平分MN
∴∠DON = 30°
在 △DON中,DN⊥ON,tan30° = √3 /3
∴DN = ON × tan30° = √3 /3
在 直角△CND中,CN = 1,DN = √3 /3
∴cos ∠CND = DN / CN = √3 /3
∴ ∠CND = arccos (√3 /3)
即 平面OBC与面OBA所成的角 为∠CND = arccos (√3 /3)
在 直角△CND中,CN = 1,DN = √3 /3,由勾股定理
∴CD^2 = CN^2 - DN^2 = 1 - 1/3 = 2/3
∴CD = √6 /3
在 直角△COD中,OC = √2
∴sin∠COD = CD / OC = (√6 /3) / √2 = √12 /6 = √3 /3
∴∠COD = arcsin (√3 /3)
即直线OC与平面α所成的角为 ∠COD = arcsin (√3 /3)