数列题（高手们帮帮忙.）a1+2a2+3a3+4a4+.+NaN=(N-1)SN+2N (N=0,1,2,3,4,5,6.) 证明《SN+2》为等比数列. 我想知道这类题的突破口是什么,怎么想到的?希望不吝赐教,谢谢.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 13:42:37
数列题（高手们帮帮忙.）a1+2a2+3a3+4a4+.+NaN=(N-1)SN+2N (N=0,1,2,3,4,5,6.) 证明《SN+2》为等比数列. 我想知道这类题的突破口是什么,怎么想到的?希望不吝赐教,谢谢.
数列题（高手们帮帮忙.）
a1+2a2+3a3+4a4+.+NaN=(N-1)SN+2N (N=0,1,2,3,4,5,6.)
证明《SN+2》为等比数列.
我想知道这类题的突破口是什么,怎么想到的?希望不吝赐教,谢谢.
数列题（高手们帮帮忙.）a1+2a2+3a3+4a4+.+NaN=(N-1)SN+2N (N=0,1,2,3,4,5,6.) 证明《SN+2》为等比数列. 我想知道这类题的突破口是什么,怎么想到的?希望不吝赐教,谢谢.
由原式得a1+2a2+3a3```+nan=nSn-Sn+2n
a1+2a2+3a3```+nan+(n+1)a(n+1)=nS(n+1)+2n+2
∴nSn-Sn+2n++(n+1)a(n+1)=nS(n+1)+2n+2 因为 S(n+1)-Sn=a(n+1)
通过移项得-Sn+(n+1)a(n+1)=n(Sn+1-Sn)+2=na(n+1)+2
再化简得a(n+1)=Sn+2
∴an=Sn+2
∵ Sn-S(n-1)=an 上面2个式相减得到 a(n+1)=2an
∴an是工比为2的等比数列
由题可得a1=2 ∴Sn=2^(n+1)-2 即Sn+2=2^(n+1)
可以看到Sn+2 是等比数列了
解这些题如果可以的话就通过题目给的式移项 如果可以得到答案就好 如果不行的话 一般是先找到 an和Sn的关系求出an或Sn (这道题不知道有没有更简单的方法)
补充一下 (想到更加简单的方法)
原题的 a1+2a2+3a3+4a4+.+(N-1)An-1+Nan=(n-1)Sn+2n
前面a1+2a2+3a3+4a4+.+(N-1)An-1=(N-2)S(n-1)+2(n-1)
把它代 回原来的式子就有 (N-2)S(n-1)+2N-2 +Nan=(n-1)Sn+2n
因为Nan=NSn-NSn-1再代回进上式
化简后得Sn=2S(n-1)+2
看到了吧 在式子左右2边同时加上2就有 Sn+2=2S(n-1)+4 =2*【S(n-1)+2】
就可以证明出来了 这种数列的构造法适用于 bn=pb(n-1)+q p q 都是常数
也就是Sn=2S(n-1)+2 可以用这种构造法
少写一项，即S(n-1),然后用Sn-S(n-1)，再将an替换成Sn-S(n-1)。
an=2^n
SN+2=2^n+1=4*2^n-1
找不到什么规律,所以我尝试用数学归纳法,先带N=1,然后带N=2一直代到N=4,得出一定的规律,然后猜想an=2^n,接着是数学归纳法的一些过程n=1时,..n=k时....最后假设成立,再验证
将an=2^n代入SN+2,得SN+2=2^n+1=4*2^n-1
晕了,用了笨方法,呵呵,学到了
新年快...
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an=2^n
SN+2=2^n+1=4*2^n-1
找不到什么规律,所以我尝试用数学归纳法,先带N=1,然后带N=2一直代到N=4,得出一定的规律,然后猜想an=2^n,接着是数学归纳法的一些过程n=1时,..n=k时....最后假设成立,再验证
将an=2^n代入SN+2,得SN+2=2^n+1=4*2^n-1
晕了,用了笨方法,呵呵,学到了
新年快乐哈.
收起
.....................用SN-SN-1然后把得到的式子~中的AN换成SN-SN-1~
这么简单~