圆与函数的综合应用圆O的内接等边三角形ABC的边长为二倍根号3,P是劣弧AC上一点（动点）,AP,BC的延长线交于一点D.设AP=x,AD=y,当点P在弧AC上运动时,求变量y与x之间的函数关系式.答案是y=12/x（0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 11:49:35
圆与函数的综合应用圆O的内接等边三角形ABC的边长为二倍根号3,P是劣弧AC上一点（动点）,AP,BC的延长线交于一点D.设AP=x,AD=y,当点P在弧AC上运动时,求变量y与x之间的函数关系式.答案是y=12/x（0
圆与函数的综合应用
圆O的内接等边三角形ABC的边长为二倍根号3,P是劣弧AC上一点（动点）,AP,BC的延长线交于一点D.设AP=x,AD=y,当点P在弧AC上运动时,求变量y与x之间的函数关系式.答案是y=12/x（0＜x＜2倍根号3）,
圆与函数的综合应用圆O的内接等边三角形ABC的边长为二倍根号3,P是劣弧AC上一点（动点）,AP,BC的延长线交于一点D.设AP=x,AD=y,当点P在弧AC上运动时,求变量y与x之间的函数关系式.答案是y=12/x（0
连接PC
∠ACP=1/2弧AP=60°-1/2弧PC
∠D=1/2弧AB-1/2弧PC=60°-1/2弧PC
∴∠ACP=∠D
又：
∠CAP=∠DAC（公共角）
∴△ACP∽△ADC
∴AC：AD = AP：AC
∴AD * AP = AC^2
∴AP = AD / AC^2
即：y = x / (2根号3)^2 = 12 / x
三角形ABP跟三角形ADP相似（顶角外加一个六十度角），所以AP*AD= AB^2 = 12 解决啦~
连BP,
因为等边三角形ABC，∠B=∠ACB=60°，
所以∠APB=∠ACB=60°，
在△BPD中，∠APB=∠PBD+∠D,
所以∠PBD+∠D=∠B=∠ABP+∠PBC
所以∠ABP=∠D,
又∠BAP是公共角，
所以△ABP∽△ADB
所以AB/AD=AP/AB
所以2√3/x=y/2√3
即y=12/x
AP=x，AD=y，则DP=y-x
设DC=a,DB=a+2√3
根据切割线定理
y（y-x)=a(a+2√3) （1）
又作AM⊥BC交BC于M，则AM=3
在RT⊿AMD中
y^2=(a+√3)^2+9
a=√(y^2-9)-√3代入（1）
所以y=12/x
连接AO,OP,BO,CO，并延长AO交BC于E
由AO=BO=CO且AB=BC=AC可知三角形AOB,BOC,AOC全等
于是有角AOB=角AOC=角BOC
所以角AOB=120度，设圆的半径为r，由余弦定理有
(r^2+r^2-AB^2)/(2r*r)=cos120
2r^2+12=-1/2*(2r^2)
r=2
看三角形AOP，对角AO...
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连接AO,OP,BO,CO，并延长AO交BC于E
由AO=BO=CO且AB=BC=AC可知三角形AOB,BOC,AOC全等
于是有角AOB=角AOC=角BOC
所以角AOB=120度，设圆的半径为r，由余弦定理有
(r^2+r^2-AB^2)/(2r*r)=cos120
2r^2+12=-1/2*(2r^2)
r=2
看三角形AOP，对角AOP用余弦定理有
cosAOP=(r^2+x^2-r^2)/2rx=x^2/4x=x/4
由角AOB=角AOC=120度可知
角BOE=角COE=60度
再有BO=CO,EO=EO
可知三角形BOE和三角形COE全等(SAS)
故OE垂直于BC，可解得OE=r*cos60=2*0.5=1
AE=AO+OE=2+1=3
从这里再求cosAOP
cosAOP=cosEAD=AE/AD=3/y
所以x/4=3/y
故得y=12/x
再求定义域，由余弦定理
对角AOP有
cosAOP=(r^2+r^2-x^2)/(2*r*r)=(8-x^2)/8
角AOP的范围是0到120度，故cosAOP的范围是-1/2到1
-0.5<(8-x^2)/8<1
解得0＜x＜2倍根号3
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