已知数列{An}对于任意p,q属于N*,有Ap+Aq=A(p+q)+1/p(p+q),若a1=1,则An=

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/23 11:21:57
已知数列{An}对于任意p,q属于N*,有Ap+Aq=A(p+q)+1/p(p+q),若a1=1,则An=已知数列{An}对于任意p,q属于N*,有Ap+Aq=A(p+q)+1/p(p+q),若a1=

已知数列{An}对于任意p,q属于N*,有Ap+Aq=A(p+q)+1/p(p+q),若a1=1,则An=
已知数列{An}对于任意p,q属于N*,有Ap+Aq=A(p+q)+1/p(p+q),若a1=1,则An=

已知数列{An}对于任意p,q属于N*,有Ap+Aq=A(p+q)+1/p(p+q),若a1=1,则An=
以q=1代入,得:
Ap+A1=A(p+1)+1/[p(p+1)]
Ap+1=A(p+1)+1/[p(p+1)]
A(p+1)-Ap=1-1/[p(p+1)]=1-[(1/p)-1/(p+1)]
即:
A(n+1)-An=1-[(1/n)-1/(n+1)]
则:
A2-A1=1-[(1/1)-(1/2)]
A3-A2=1-[(1/2)-(1/3)]
A4-A3=1-[(1/3)-(1/4)]
…………
An-A(n-1)=1-[1/(n-1)-(1/n)]
上述式子相加,得:
An-A1=(n-1)-[1-(1/n)]
An=(n-1)+(1/n)
=(n²-n+1)/(n)

令p=1,q=n,则:A1+An=A(n+1)+1/(n+1)
A(n+1)=An + 1 - 1/(n+1)=An + n/(n+1)
A2=A1+1/2
A3=A2+2/3=1+1/2+2/3
A4=...=1+1/2+2/3+3/4
...
An=1+1/2+2/3+...+(n-1)/n

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