设A为n阶矩阵,r(A)=1.求证 A^2=kA

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/31 11:30:42

设A为n阶矩阵,r(A)=1.求证A^2=kA设A为n阶矩阵,r(A)=1.求证A^2=kA设A为n阶矩阵,r(A)=1.求证A^2=kA证明:因为r(A)=1所以A有一个非零列向量α,且其余列向量都

设A为n阶矩阵,r(A)=1.求证 A^2=kA
设A为n阶矩阵,r(A)=1.求证 A^2=kA

设A为n阶矩阵,r(A)=1.求证 A^2=kA
证明:因为r(A)=1
所以 A 有一个非零列向量α,且其余列向量都是α的倍数
(事实上,α是A的列向量组的一个极大无关组)
记α=(a1,a2,...,an)'
则 A = (k1α,k2α,...,knα) 某个ki=1.
= α(k1,k2,...,kn)
记 β = (k1,k2,...,kn)'
则 A = αβ'.
所以 A^2 = (αβ')(αβ')=α(β'α)β'=(β'α)αβ'=(β'α)A.
令 k = β'α
则 A^2=kA.
注:β'α 是两个向量的内积,是一个数.

可以想象成A只有1行非0，其他行全是0，因为经过初等变换知道r（A）=1，所以很好证

设A为n阶矩阵,r(A)=1.求证 A^2=kA 设A,B均为n阶矩阵,且AB=BA求证r(A+B) 设A为n阶矩阵,证明r(A^n)=r(A^(n+1))线性代数设A为m*n矩阵,并且r(A)=n,又B为n阶矩阵,求证：如果AB=A则B=E 设A,B均为n阶矩阵,r(A) 设A为n阶矩阵,R（A） A.B均为n*n矩阵,矩阵AB=0,求证r(A)+r(B) 设A为m*n矩阵,求证存在一个n阶矩阵B≠0,使AB=0的充要条件是r(A) 设A为m*n矩阵,求证存在一个n阶矩阵B≠0,使AB=0的充要条件是r(A) 设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵,若AB=O,求证：r(A)+r(B)≤n 设n阶矩阵A满足A平方=A,E为n阶单位矩阵,证明r(A)+r(A-E)=n. 设n阶矩阵A满足A^2=A,E为n阶单位矩阵,证明r(A)+r(A-E)=n 设A是n阶矩阵,求证A+A^T为对称矩阵. 设A为n阶矩阵,r(A)=1,求证：(1)A=(a1 a2 .an)（列向量）*（b1,b2.bn ) (2) A^2=kA 设A为m×n实矩阵,证明r(A^T A)=r(A) 关于线性代数方阵秩的证明.1.A为n阶方阵,且A² = A (这类矩阵称为幂等矩阵),求证r ( A ) + r ( A - E ) = n2.A为n阶方阵,且且A² = E (这类矩阵称为对合矩阵),求证r ( A + E) + r ( A - E ) = n 设A为n阶方阵,且R（A）=n-1,A*为矩阵A的伴随矩阵,求证∶存在常数k,使（A*）^2=kA* 设A为m×n矩阵,且r(A)=r＜n.求证：存在秩为n-r的n×(n-r)矩阵B,使得AB=O