在边长a=根号下(25+12根号3)的正三角形ABC内有一点P;且PA^2+PB^2=PC^2;PC=5;求PA、PB的长.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 03:19:14
在边长a=根号下(25+12根号3)的正三角形ABC内有一点P;且PA^2+PB^2=PC^2;PC=5;求PA、PB的长.
在边长a=根号下(25+12根号3)的正三角形ABC内有一点P;且PA^2+PB^2=PC^2;PC=5;求PA、PB的长.
在边长a=根号下(25+12根号3)的正三角形ABC内有一点P;且PA^2+PB^2=PC^2;PC=5;求PA、PB的长.
解析：以A为顶点做∠PAD=60°,使AD=AP,连接CD,易得△APD为正三角形,
∴PA=PD=AD,∠ADP=60°,
易证△ADC≌△APB,∴CD=PB,
由PA^2+PB^2=PC^2,得PD^2+CD^2=PC^2
则△PDC是∠PDC=90°的直角三角形,
∴∠ADC=∠ADP+∠PDC=60°+90°=150°,
在△ADC中,AC^2=AD^2+CD^2-2*AD*CD*cos150°
=PA^2+PB^2+√3*PA*PB
即25+12√3=5*5+√3*PA*PB
∴PA*PB=12
联立PA^2+PB^2=PC^2=25,
解之得,PA=4,PB=3或PA=3,PB=4
把三角形APB逆时针旋转60度,得一新三角形AQC,连结PQ,
则△ABP≌△AQC,AQ=AP,《PAQ=60度,△APQ是正△,
AP=AQ=PQ,
AP^2+BP^2=PC^2,
则根据勾股定理逆定理,△PQC是RT△,
《PQC=90度,
〈AQP=60度,
〈AQC=150度,
在三角形ACQ中,根据余弦定理,
AC^2=AQ^2+QC^2-2AQ*QC*cos150°,
设AQ=x,CQ=y,
25+12√3=25+xy√3,
xy=12,(1)
x^2+y^2=25,(2)
(1)*2+(2)式,
(x+y)^2=49,
x+y=7,(3)
x=3,或x=4,
y=3 或y=4,
∴PA=AQ=3,或PA=4,
PB=QC=4,或PB=3.