函数f(x)的定义域为D,若满足①存在.函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a/2,b/2]⊆D,使得f(x)在[a/2,b/2]上的值域为[a,b].那么就称函数y=f(x)为“优美函数”,若函数 f(x)=logc
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/01 04:59:44
函数f(x)的定义域为D,若满足①存在.函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a/2,b/2]⊆D,使得f(x)在[a/2,b/2]上的值域为[a,b].那么就称函数y=f(x)为“优美函数”,若函数 f(x)=logc
函数f(x)的定义域为D,若满足①存在.
函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a/2,b/2]⊆D,使得f(x)在[a/2,b/2]上的值域为[a,b].那么就称函数y=f(x)为“优美函数”,若函数 f(x)=logc (c^x-t) （c＞0,c≠1） 是优美函数,则t的取值范围为
A.(0,1) B.(0,1/2) C.(-∞,1/4) D.(0,1/4)
函数f(x)的定义域为D,若满足①存在.函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a/2,b/2]⊆D,使得f(x)在[a/2,b/2]上的值域为[a,b].那么就称函数y=f(x)为“优美函数”,若函数 f(x)=logc
(1)f(x)的定义域：c^x-t>0,c^x>t;
∵c＞0,c≠1,∴c^x>0对于x∈R成立,
如果t≤0,f(x)的定义域是R；
如果t＞0,
c＜1,-∝＜x＜logct＜0；
c＞1,logct＜x＜+∝；
(2)f(x)的单调性：
根据“优美函数”的条件,f(x)必须是其定义域上的单调增函数,f'(x)>0.
f'(x)=[ln(c^x-t)/lnc]'=1/(c^x-t)/lnc*(c^x)'=1/(c^x-t)/lnc*c^x*lnc=c^x/(c^x-t)=1/(1-tc^-x)>0
1-tc^-x>0
c^x-t>0
c^x>t
上面的条件表达式与其定义域的表达式完全一致,因此,f(x)在它的定义域上是单调增函数.
(3)对于单调增函数,其值域区间的端点就是其定义区间端点的值,即：
a=f(a/2),b=f(b/2),a＜b
这两个式子在形式上完全一样,a,b就是x=f(x/2)的两个根.
x=f(x/2)=logc(c^(x/2)-t)
c^x=c^(x/2)-t
c^x-c^(x/2)+t=0
设y=c^(x/2)>0
y^2-y+t=0
这个方程应该有两个不相等的正数根,Δ=(-1)^2-4t=1-4t>0,t0
1-√(1-4t)>0,1>1-4t ,t>0
∴0
解 假设 c>1 存在[a/2,b/2]⊆D，使得f(x)在[a/2,b/2]上的值域为[a,b]
则logc (c^x-t)=2x有两不等根
logc (c^x-t)=logc(c^(2x))
则c^x-t=c^(2x)
令c^x=m>0
则m^2-m+t=0有两个非负实根
Δ>0,m1m2>0
解得t在(0,1/4)内