为何说peano公理没有定义自然数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 03:56:53
为何说peano公理没有定义自然数
为何说peano公理没有定义自然数
为何说peano公理没有定义自然数
研究数论的出发点应该还是皮亚诺公理.为了给出自然数的严格定义,皮亚诺采用序数理论提出自然数的5条公理,被称为皮亚诺公理.这五条公理用非形式化的方法叙述如下：
1.1是自然数；
2.每一个确定的自然数n都有一个确定的后继者,记作n+或n+1.n+1也是自然数；
3.如果m、n都是自然数,并且m+1 = n+1的后继数,那么m = n；
4.不是任何自然数的后继者；
5.如果一些自然数的集合S具有性质:(1)1在S中；(2)若n在S中,则n+1也在S中.那么S = N.(这条公理保证了数学归纳法的正确性,从而被称为归纳法原理)
若将0也视作自然数,则公理中的1要换成0.在现在看来自然数中加上0是完全必要的.实际上,这里的定义实际上就是数数的意思.或者说它与人们对于数数的理解是不矛盾的.也就是说,所有会数数到足够大,而不会漏掉任何数字的人,应该就算是懂得了皮亚诺公理.但是所有会数数的人中,懂得皮亚诺公理的人只是极其小的一部分.我说这句话并不是说,数学中（还有哲学中）的那些比较严格的定义,就是不必要的废话,实际上合理地理解那个看起来是人人皆知的概念,又是很重要的.数学中很多概念,没有在一般的中学到大学的非数学专业的公共教育中普及,一方面大概和那些定义在数学家自身中也有争论,如自然数定义中的关于0的争论,有一定的关系；也和我国教育一贯的重技巧,轻逻辑有更加大的关系.我们讨论中看起来好象对现代数学的批评多一些,那是因为我们比现代数学的开创者们又晚了近一个世纪,主要是多了一个世纪的人类实践发展的经历,而不是说西方的思维方法不如中国.当然东方的思维方式中好的一面我们也要继承,但是中国思维中不讲逻辑的一面是不能继承的.