求证任意7个实数中必存在两个实数x,y,满足0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 09:42:12
求证任意7个实数中必存在两个实数x,y,满足0
求证任意7个实数中必存在两个实数x,y,满足0<=(x-y)/(1+xy)<√3/3
求证任意7个实数中必存在两个实数x,y,满足0
由于函数y=tanx (-π/2
若任给7个实数中有某两个相等，结论显然成立．若7个实数互不相等，则难以下手．但仔细观察可发现：与两角差的正切公式在结构上极为相似，故可选后者为类比物，并通过适当的代换将其转化为类比问题．作代换：xk=tgαk（k ＝l，2，…，7），证明必存在αi，αj，满足不等式0≤tg(αi-αj)≤· 证明：令xk=tgαk（k ＝l，2，…，7），αk∈（-，），则原命题转化为：证明存在两个实数αi，αj...
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若任给7个实数中有某两个相等，结论显然成立．若7个实数互不相等，则难以下手．但仔细观察可发现：与两角差的正切公式在结构上极为相似，故可选后者为类比物，并通过适当的代换将其转化为类比问题．作代换：xk=tgαk（k ＝l，2，…，7），证明必存在αi，αj，满足不等式0≤tg(αi-αj)≤· 证明：令xk=tgαk（k ＝l，2，…，7），αk∈（-，），则原命题转化为：证明存在两个实数αi，αj∈（-，），满足0≤tg(αi-αj)≤· 由抽屉原则知，αk中必有 4个在[0，）中或在（-，0）中，不妨设有4个在[0，）中．注意到tg0＝0，tg=，而在[0，）内，tgx是增函数，故只需证明存在αi，αj，使0<αi-αj <即可。为此将[0，）分成三个小区间：[0，]、（，]、（，）。又由抽屉原则知，4个αk中至少有2个比如αi，αj同属于某一区间，不妨设αi>αj，则0≤αi-αj ≤，故0≤tg(αi-αj)≤·这样，与相应的xi=tgαi、xj=tgαj，便有0≤≤·
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