求证 椭圆上任意一点与过焦点点的弦的两端点连线的斜率之积为定值题目有误！！！求证 椭圆上端点与过焦点点的弦的两端点连线的斜率之积为定值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 04:23:57
求证 椭圆上任意一点与过焦点点的弦的两端点连线的斜率之积为定值题目有误！！！求证 椭圆上端点与过焦点点的弦的两端点连线的斜率之积为定值
求证 椭圆上任意一点与过焦点点的弦的两端点连线的斜率之积为定值
题目有误！！！求证 椭圆上端点与过焦点点的弦的两端点连线的斜率之积为定值
求证 椭圆上任意一点与过焦点点的弦的两端点连线的斜率之积为定值题目有误！！！求证 椭圆上端点与过焦点点的弦的两端点连线的斜率之积为定值
没表达清楚: 定值是对固定的椭圆上一点还是对一条固定的焦点弦?
不过其实两种理解的结论都不成立, 请检查题目来源.
反例: 椭圆x²/25+y²/16 = 1, 左焦点F(-3,0).
过F的焦点弦x = -3端点为A(-3,16/5)和B(-3,-16/5),
椭圆上一点P(3,16/5), 可知PA斜率为0, PB斜率为16/15, 斜率积为0.
然而无论是P变动还是焦点弦变动, 总可以使两个斜率均不为0, 从而斜率积不为定值.
欢迎修正题目后追问.
郭敦顒回答：
这是个伪命题。
椭圆x²/a²+y²/b²=1，左焦点为F1（－c，0），右焦点为F2（c，0），在上顶点为B（0，b），下顶点为B′（0，－b），
若椭圆上任意一点P与过焦点点的弦的两端点连线的斜率之积为定值q，两斜率分别为k1和k2则
q=k1•k2=－b²/c²，为负值。
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郭敦顒回答：
这是个伪命题。
椭圆x²/a²+y²/b²=1，左焦点为F1（－c，0），右焦点为F2（c，0），在上顶点为B（0，b），下顶点为B′（0，－b），
若椭圆上任意一点P与过焦点点的弦的两端点连线的斜率之积为定值q，两斜率分别为k1和k2则
q=k1•k2=－b²/c²，为负值。
如果点P在第一象限，且坐标为P（c＜x＜a，h），作PD⊥X轴于D， PD=h，
则=k1•k2=h²/[（c+x）x，] ，为正值，且| h²/[（c+x）x，]|＜|－b²/c²|
所以，此题伪命题。
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