已知x1、x2是方程x²-（k-2)x+(k²+3k+5)=0的两个实根,则x1²+x2²的最大值是多少
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/07 08:07:37
已知x1、x2是方程x²-（k-2)x+(k²+3k+5)=0的两个实根,则x1²+x2²的最大值是多少
已知x1、x2是方程x²-（k-2)x+(k²+3k+5)=0的两个实根,则x1²+x2²的最大值是多少
已知x1、x2是方程x²-（k-2)x+(k²+3k+5)=0的两个实根,则x1²+x2²的最大值是多少
由韦达定理得：x1+x2=k-2,x1x2=k^2+3k+5
∴x1^2＋x2^2＝（x1＋x2）^2-2x1x2
=(k-2)^2-2(k^2+3k+5)
=-k^2-10k-6
=-(k+5)^2+19
如果由此得K＝-5时,（x1^2+x2^2）最大值=19,那就错了.为什么?已知该x1,x2是方程的两个“实数”根,即方程必须有实数根才行,而此时方程的判别式Δ≥0,即
Δ＝(k-2)^2-4(k^2+3k+5)=-3k^2-16k-16≥0 ①
解①得：-4≤k≤-4/3
∵k=-5[-4,-4/3],设f(k)=-(k+5)^2+19则f(-4)=18,f(-4/3)=50/9
先求k的取值范围。
方程有实根，判别式△≥0
△=[-(k-2)]^2-4(k^2+3k+5)
=-3k^2-16k-16≥0
3k^2+16k+16≤0
(3k+4)(k+4)≤0
-4≤k≤-4/3
由韦达定理
x1+x2=k-2
x1x2=k^2+3k+5
x1^2+x2^2
=(x1+x2)^...
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先求k的取值范围。
方程有实根，判别式△≥0
△=[-(k-2)]^2-4(k^2+3k+5)
=-3k^2-16k-16≥0
3k^2+16k+16≤0
(3k+4)(k+4)≤0
-4≤k≤-4/3
由韦达定理
x1+x2=k-2
x1x2=k^2+3k+5
x1^2+x2^2
=(x1+x2)^2-2x1x2
=(k-2)^2-2(k^2+3k+5)
=-k^2-10k-6
=-(k+5)^2+19
对称轴k=-5<-4，函数y=-(k+5)^2+19单调递减。当k=-4时，取到最大值。
最大值=-(-4+5)^2+19=18
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18