已知函数f(x)=2ax-1/(x^2),x∈(0,1],(1)若f(x)在x∈(0,1]是增函数,求a的取值范围 (2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值 导数

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 13:04:51
已知函数f(x)=2ax-1/(x^2),x∈(0,1],(1)若f(x)在x∈(0,1]是增函数,求a的取值范围(2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值导数已知函数f(x)=2ax-1/(x^2)

已知函数f(x)=2ax-1/(x^2),x∈(0,1],(1)若f(x)在x∈(0,1]是增函数,求a的取值范围 (2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值 导数
已知函数f(x)=2ax-1/(x^2),x∈(0,1],
(1)若f(x)在x∈(0,1]是增函数,求a的取值范围
(2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值
导数

已知函数f(x)=2ax-1/(x^2),x∈(0,1],(1)若f(x)在x∈(0,1]是增函数,求a的取值范围 (2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值 导数
（1）.求导,求增区间.
f`(x)=2a+2/(x^3)
令它大于0,即2a+2/(x^3)＞0,因为x∈（0,1],则x^3＞0.
整理,得x^3＞-1/a,解得x＞3次√(-1/a).至此,增区间找到.
题中说,在x∈(0,1]是增函数,那么(0,1]就是x＞3次√(-1/a)的子集,即有
0≥3次√(-1/a)（画数轴,可以看到边界值=号可以取到,满足子集关系）,
解得a＞0.(这是两码事,3次√(-1/a)之所以不能取到0了,是因为考虑了a≠0)
若你列个综合式子,就是
｛0≥3次√(-1/a)
a≠0.
解这个不等式组,得到结果.
（2）.（第二问与第一问没关系了,这你知道吧,所以得对a进行讨论）.
①.a＞0,观察（单调性法）就行了,2ax是增函数,-1/x^2在（0,1]上也是增函数,所以整个函数是增的.当x=1时,有最大值,2a-1.
②.a＜0,这就得求导了.
f`(x)=2a-1/(x^3),2a＜0,-1/(x^3)也＜0,那么导数恒小于0,也就是在（0,1]上是减函数,求最大值嘛……0还取不到,所以a＜0时,没有最大值.
综上,最大值为2a-1.

对f(x)求导得f'(x)=2x^-3+2a,x∈(0,1],
若在此区间 是增函数，那么一阶导数必定大于0（严格递增可取等于0，看具体题目要求而定），那么可得2x^-3+2a>0,x∈(0,1],化简得a>-x^-3，要使得此式子成立，a必须大于-x^-3的最大值，即a必须大于x=1时的值，所以a>-1(若题中是严格单调递增函数，可取a>=-1)
f(x)在区间上的最大值为f'(...

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对f(x)求导得f'(x)=2x^-3+2a,x∈(0,1],
若在此区间 是增函数，那么一阶导数必定大于0（严格递增可取等于0，看具体题目要求而定），那么可得2x^-3+2a>0,x∈(0,1],化简得a>-x^-3，要使得此式子成立，a必须大于-x^-3的最大值，即a必须大于x=1时的值，所以a>-1(若题中是严格单调递增函数，可取a>=-1)
f(x)在区间上的最大值为f'(x)=0时，x=-1/(a)^(1/3),此时f(x)=-3a^(2/3)

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